>[!example]+ [[23-24深圳龙华六下-21|第 21 题：正方体切割最大圆柱规律（解答，11 分）]] >木工师傅用正方体木块切割加工圆柱体。正方体木块棱长是 $12$ 厘米。请分别解决以下问题。（此题结果可用含 $\pi$ 的式子表示，也可将 $\pi$ 取 $3.14$ 计算。） >（1）如果用这个正方体木块切割出一个最大的圆柱体，如图 $1$，这个圆柱体的体积是多少？被切割掉的边角料的体积是多少？ > >（2）如果用这个正方体木块切割出 $4$ 个大小相等且体积最大的圆柱体，如图 $2$，每个小圆柱体的体积是多少？被切割掉的边角料的体积是多少？ > >（3）如果继续像上面这样加工圆柱体，加工 $9$ 个大小相等且体积最大的圆柱体，被切割掉的边角料的体积是多少？ >（4）奇思在解决上述问题时，他发现被切割出来的圆柱体的个数是 $1\times1$，$2\times2$，$3\times3$，……，$n\times n$。那么，当被切割出来的圆柱体的个数是 $n\times n$ 时，每个小圆柱体的半径是 $\underline{\qquad}$ 厘米，每个小圆柱体的体积是 $\underline{\qquad}$ 立方厘米。按照这种想法，此时，被切割掉的边角料体积是多少？你发现了什么？ ^longhua-q21 >[!tip]- 解答 >**思路点拨：** 每个小圆柱的高都是 $12cm$，底面圆内接在对应的小正方形中。 > >**解题过程：** 正方体体积 $12^3=1728cm^3$。 > >（1）切 $1$ 个最大圆柱，半径 $6cm$，体积 $\pi\times6^2\times12=432\pi$，边角料 $1728-432\pi$。 > >（2）切 $4=2\times2$ 个，每个小正方形边长 $6cm$，半径 $3cm$，每个体积 $\pi\times3^2\times12=108\pi$，总圆柱体积仍是 $432\pi$，边角料 $1728-432\pi$。 > >（3）切 $9=3\times3$ 个，每个半径 $2cm$，每个体积 $48\pi$，总量 $9\times48\pi=432\pi$，边角料仍是 $1728-432\pi$。 > >（4）切 $n\times n$ 个时，每个小正方形边长 $\dfrac{12}{n}$，半径 $\dfrac6n$，每个体积 $\pi\left(\dfrac6n\right)^2\times12=\dfrac{432\pi}{n^2}$。总圆柱体积还是 $432\pi$，边角料还是 $1728-432\pi$。发现：无论分成多少个这样的最大圆柱，切掉的边角料体积不变。 > >**易错提示：** 圆柱个数变多时，每个圆柱变小，总体积却保持不变。 >[!seealso]- 继续练 >**对应知识点习题（同层级）** >- [[圆柱的体积练习·策略迁移#题组 2：体积不变的转化|圆柱的体积练习·策略迁移：体积不变的转化]]（同层级练图形变化中抓住体积关系不变） > >**近似真题：圆柱生成方式变化下比较体积** >- [[24-25深圳龙华六下-21]]（同知识点：同样比较圆柱生成方式变化后侧面积、体积的规律） >- [[23-24深圳宝安六下-15]]（同知识点：从长方形围成圆柱的不同方案中比较半径和体积） > >**拓展真题：柱体体积公式的统一理解** >- [[24-25深圳南山六下-29]]（同知识点：从更一般的柱体体积公式理解 $V=Sh$ 的适用条件） >[!info]- 题目评析 >习题来源：真题@[[23-24深圳龙华六下]] >知识点层级：[[圆柱的体积]]·策略迁移；[[四边形]]·策略迁移 >评价目标：能把正方体按 $n\times n$ 分割后每个小正方形内切圆柱的半径表示为 $\dfrac6n$，计算单个和总体积并发现边角料体积不变 >DOK：3 — 需要从 $1\times1,2\times2,3\times3$ 的具体情况归纳到 $n\times n$，并解释不变量 >典型错因：容易只看到圆柱个数变多或每个圆柱变小，忽略总圆柱体积始终是 $432\pi$，边角料体积不变。 ## Logs - [[2026-06-02]] - 继续练 skill：升级为分层结构并补 `继续练状态` - 题目评析 skill：补 `评析状态`、`能力标签`、`错因标签` - 补 `思想方法:[[变中有不变]]`、`[[归纳推理]]` - [[2026-05-26]] -