# 圆柱的切与割 > **主线：先想象新露出来的面，再计算。** > > 圆柱切割题最怕一上来套完整表面积公式。先问三句话：往哪个方向切？切面是什么形状？一共多了几个这样的面？ --- ## 三种情况速查 | 情况 | 切面或变化 | 面积变化 | 口令 | |:--|:--|:--|:--| | 沿着直径切 | 长方形，长是高，宽是直径 | 一刀切成两块，增加 $2dh$ | 两个“直径 × 高” | | 横着切 | 圆形，和底面一样大 | 一刀增加 $2\pi r^2$；截成 $n$ 段增加 $2(n-1)$ 个底面 | 几刀就多几个“两面” | | 截取或延长一段 | 底面不变，高变了 | 表面积变化 $=2\pi r\times \Delta h$；体积变化 $=\pi r^2\times \Delta h$ | 只变侧面那一圈 | > [!warning]+ 最容易混的地方 > “截成几段后把所有段的表面积加起来”属于横着切：会新增圆形切面。 > “同一个完整圆柱变高或变矮”属于截取 / 延长一段：上下两个底面不变，只改变侧面积。 --- ## 情况一：沿着直径切 > 沿底面直径竖着切，切面是长方形。长方形的一边是圆柱的高，另一边是底面直径。 >[!question]+ 入口真题：[[23-24深圳坪山六下-19|坪山 Q19]] 🐶 > 一根圆柱形木料，底面直径是 $4$ 分米，高是 $10$ 分米，沿底面直径把它锯成完全一样的两块，木料的表面积增加了多少平方分米？ >> [!success]- 答案 >> 每个切面是一个长方形，面积是： >> >> $4\times10=40\text{ dm}^2$ >> >> 切开后两块木料各多一个切面，所以一共增加： >> >> $40\times2=80\text{ dm}^2$ >> >> 易错点：不是求原圆柱表面积，也不是只算一个切面。 >[!question]+ 同类练习：[[北师大六下U1圆柱与圆锥-测试卷二-11|北师大 U1 测试卷二 Q11]] > 底面半径是 $2\text{dm}$，高是 $4\text{dm}$ 的圆柱，沿底面直径切成两半，表面积增加多少？ >> [!success]- 答案 >> 直径 $d=4\text{dm}$，每个切面面积 $=4\times4=16\text{dm}^2$，两个切面共增加 $32\text{dm}^2$。 > [!tip]+ 旁支：割拼成长方体 > 圆柱割拼成长方体时，也是在找新增切面，但常见新增面是两个“半径 × 高”的长方形，如 [[24-25深圳宝安六下-10]]、[[24-25深圳龙华六下-13]]。它和“沿直径切成两半”同属新增长方形切面，但宽度要看图：是直径，还是半径。 --- ## 情况二：横着切 > 平行于底面横着切，切面是圆，大小和底面相同。 >[!question]+ 关联练习：[[北师大六下U1圆柱与圆锥-测试卷二-1|北师大 U1 测试卷二 Q1]] > 一根长 $3$ 米的圆柱形木棍，截成 $4$ 段后表面积增加了 $36\text{dm}^2$，求这根木棍的体积。 >> [!success]- 答案 >> 截成 $4$ 段，需要切 $3$ 刀；每切一刀多出 $2$ 个圆形切面。 >> >> 一共增加 $3\times2=6$ 个底面，所以一个底面积： >> >> $36\div6=6\text{ dm}^2$ >> >> $3$ 米 $=30$ 分米，体积： >> >> $6\times30=180\text{ dm}^3$ >> >> 易错点：不是增加 $4$ 个底面，而是增加 $2\times(4-1)=6$ 个底面。 > [!tip]+ 横切公式 > 横切一刀：表面积增加 $2$ 个底面积。 > 横切成 $n$ 段：需要 $n-1$ 刀，表面积增加 $2(n-1)$ 个底面积。 --- ## 情况三：截取或延长一段圆柱 > 如果比较的是同一个完整圆柱“变高了多少”或“变矮了多少”，上下两个底面没有变，变化只发生在侧面那一圈。 >[!question]+ 关联练习：[[北师大六下U1圆柱与圆锥-测试卷二-4|北师大 U1 测试卷二 Q4]] > 一个圆柱高 $10$ 厘米，如果它的高增加 $2$ 厘米，表面积增加 $25.12$ 平方厘米。这个圆柱的底面积是多少？原来的体积是多少？ >> [!success]- 答案 >> 高增加，只增加侧面积： >> >> $\text{底面周长}\times2=25.12$ >> >> 底面周长 $=25.12\div2=12.56$ 厘米，所以半径： >> >> $r=12.56\div3.14\div2=2\text{ cm}$ >> >> 底面积 $=3.14\times2^2=12.56\text{ cm}^2$，原体积 $=12.56\times10=125.6\text{ cm}^3$。 >> >> 易错点：高增加不会多出新的底面，只多了侧面一圈。 > [!tip]+ 截取 / 延长公式 > 延长 $\Delta h$：表面积增加 $2\pi r\Delta h$，体积增加 $\pi r^2\Delta h$。 > 截短 $\Delta h$：表面积减少 $2\pi r\Delta h$，体积减少 $\pi r^2\Delta h$。 --- ## 讲评口令 1. 先看方向：沿直径切、横着切，还是只改变高度。 2. 再看形状：新增面是长方形、圆，还是侧面一圈。 3. 最后数面：一刀通常多两个面，截成 $n$ 段是 $n-1$ 刀。 ## Logs - [[2026-06-03]] - 新建专题，按沿直径切、横着切、截取或延长一段圆柱三种情况组织；录入 [[23-24深圳坪山六下-19]] 作为入口题