[[🗺️ 数与代数知识地图|数与代数]]是数学知识体系的基础之一，是学生认知数量关系、探索数学规律、建立数学模型的基石，可以帮助学生从数量的角度清晰准确地认识、理解和表达现实世界。 在小学阶段，学生认识了正有理数，掌握了正有理数的四则运算，知道可以用字母表示数、数量关系及规律。在初中阶段，学生将认识负数、无理数，学习它们的四则运算，还将学习代数式、方程、不等式、函数等内容。这些内容构成了初中阶段数与代数领域==“数与式”“方程与不等式”和“函数”==三个主题。 “[[数与式]]”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论具有一般性；“[[方程与不等式]]”揭示了数学中最基本的数量关系（相等关系和不等关系），是一类应用广泛的数学工具；“[[函数]]”主要研究变量之间的关系，探索事物变化的规律；借助函数可以认识方程和不等式。 数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发展几何直观和运算能力。 # 第四学段（7～9年级） ## 【内容要求】 ### 1. 数与式 #### （1）有理数 ①理解负数的意义（例 64）；理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。 ②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数和绝对值的方法。 ③理解乘方的意义。 ④掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。 ⑤能运用有理数的运算解决简单问题。 #### （2）实数 ①了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。 ②能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。 ③能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。 ④了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。 ⑤了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。 ⑥能用有理数估计一个无理数的大致范围。 ⑦了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算（例 65）。 ⑧了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。 #### （3）代数式 ①借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。 ②能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式。 ③会把具体数代入代数式进行计算。 ④了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）。 ⑤理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）。 ⑥理解乘法公式 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。 ⑦能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）。 ⑧了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能对简单的分式进行加、减、乘、除运算。 ⑨了解代数推理（例 66）。 ### 2. 方程与不等式 #### （1）方程与方程组 ①能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。 ②掌握等式的基本性质；能解一元一次方程和可化为一元一次方程的分式方程。 ③掌握消元法，能解二元一次方程组。 ④\* 能解简单的三元一次方程组[^1]。 ⑤理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。 ⑥会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。 ⑦了解一元二次方程的根与系数的关系（例 67）。 ⑧能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。 #### （2）不等式与不等式组 ①结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质。 ②能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。 ③能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。 [^1]: 标有 * 的内容为选学内容，不作为考试要求。 ### 3. 函数 #### （1）函数的概念 ①探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例。 ②能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析（例 68）。 ③能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值。 ④能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义（例 69）。 ⑤结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。 #### （2）一次函数 ①结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式（例 70）；会运用待定系数法确定一次函数的表达式。 ②能画一次函数的图象，根据图象和表达式 $y=kx+b\;(k\neq 0)$ 探索并理解 $k>0$ 和 $k<0$ 时图象的变化情况；理解正比例函数。 ③体会一次函数与二元一次方程的关系。 ④能用一次函数解决简单实际问题。 #### （3）二次函数 ①通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 ②能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系。 ③会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题（例 71）。 ④知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 #### （4）反比例函数 ①结合具体情境体会反比例函数的意义（例 72），能根据已知条件确定反比例函数的表达式。 ②能画反比例函数的图象，根据图象和表达式 $y=\dfrac{k}{x}\;(k\neq 0)$ 探索并理解 $k>0$ 和 $k<0$ 时图象的变化情况。 ③能用反比例函数解决简单实际问题。 ## 【学业要求】 ### 1. 数与式 #### （1）有理数 理解负数的意义，会用正数和负数表示具体情境中具有相反意义的量；理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能借助数轴体会相反数和绝对值的意义，初步体会数形结合的思想方法；能比较有理数的大小，能求有理数的相反数和绝对值；会运用乘方的意义准确进行有理数的乘方运算；能熟练地对有理数进行加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主），理解有理数的运算律，能合理运用运算律简化运算，能运用有理数的运算解决简单问题。 #### （2）实数 了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，感悟数的扩充；初步认识实数与数轴上的点具有一一对应关系，能用数轴上的点表示一些具体的实数，能比较实数的大小；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值；知道平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示平方根、算术平方根、立方根；知道乘方与开方互为逆运算，会用乘方运算求百以内完全平方数的平方根和千以内完全立方数的立方根（及对应的负整数），会用计算器计算平方根和立方根；能用有理数估计一个无理数的大致范围；初步认识近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算，会对结果取近似值；会用二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运算法则进行简单的四则运算。 #### （3）代数式 能运用代数式表示具体问题中简单的数量关系，体验用数学符号表达数量关系的过程，会选择适当的方法求代数式的值；会用文字和符号语言表述整数指数幂的基本性质，能根据整数指数幂的基本性质进行幂的运算；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）；理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）；知道平方差公式、完全平方公式的几何背景，并能运用公式进行简单计算和推理；能用提公因式法、公式法（对二次式直接利用平方差公式或完全平方公式）进行因式分解（指数为正整数）；知道分式的分母不能为零，能利用分式的基本性质进行约分、通分，并化简分式，能对简单的分式进行加、减、乘、除运算并将运算结果化为最简分式。 ### 2. 方程与不等式 #### （1）方程与方程组 能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义；认识方程解的意义，经历估计方程解的过程；掌握等式的基本性质，能运用等式的基本性质进行等式的变形；能根据等式的基本性质解一元一次方程和可化为一元一次方程的分式方程；能根据二元一次方程组的特征，选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组；\*能解简单的三元一次方程组；能根据一元二次方程的特征，选择配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等，会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系；知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题；能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。建立模型观念。 #### （2）不等式与不等式组 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质；能用不等式的基本性质对不等式进行变形；能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集；能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的实际问题。建立模型观念。 ### 3. 函数 #### （1）函数的概念 能识别简单实际问题中的常量、变量及其意义，并能找出变量之间的数量关系及变化规律，形成初步的抽象能力；了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例，初步形成模型观念；能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义；能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值；能根据函数图象分析出实际问题中变量的信息，发现变量间的变化规律；能结合函数图象对简单实际问题中的函数关系进行分析，结合对函数关系的分析，能对变量的变化趋势进行初步推测。 #### （2）一次函数 能根据简单实际问题中的已知条件确定一次函数的表达式；会在不同问题情境中运用待定系数法确定一次函数的表达式；会画出一次函数的图象；会根据一次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标；会根据一次函数的图象和表达式 $y=kx+b\;(k\neq 0)$，探索并理解 $k$ 值的变化对函数图象的影响。认识正比例函数中两个变量之间的对应规律，会结合实例说明正比例函数的意义及变量之间的对应规律。会根据一次函数的图象解释一次函数与二元一次方程的关系；能在实际问题中列出一次函数的表达式，并结合一次函数的图象与表达式的性质等解决简单的实际问题。 #### （3）二次函数 会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象，会利用一些特殊点画出二次函数的草图；通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系。会根据二次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标；会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 $y=a(x-h)^2+k$ 的形式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，解决简单的实际问题。知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 #### （4）反比例函数 结合具体情境用实例体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式；会用描点法画出反比例函数的图象；知道当 $k>0$ 和 $k<0$ 时反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}\;(k\neq 0)$ 图象的整体特征；能用反比例函数解决简单的实际问题。 ## 【教学提示】 初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题，是学生理解数学符号，以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容，是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体。 **数与式的教学**。教师应把握数与式的整体性，一方面，通过负数、有理数和实数的认识，帮助学生进一步感悟数是对数量的抽象，知道绝对值是对数量大小和线段长度的表达，进而体会实数与数轴上的点一一对应的数形结合的意义，会进行实数的运算；另一方面，通过代数式和代数式运算的教学，让学生进一步理解字母表示数的意义，通过基于符号的运算和推理，建立符号意识，感悟数学结论的一般性，理解运算方法与运算律的关系，提升运算能力。 **方程与不等式的教学**。应当让学生经历对现实问题中量的分析，借助用字母表达的未知数，建立两个量之间关系的过程，知道方程或不等式是现实问题中含有未知数的等量关系或不等关系的数学表达；引导学生关注用字母表示一元二次方程的系数，感悟用字母表示的求根公式的意义，体会算术与代数的差异。 **函数的教学**。要通过对现实问题中变量的分析，建立两个变量之间变化的依赖关系，让学生理解用函数表达变化关系的实际意义；要引导学生借助平面直角坐标系中的描点，理解函数图象与表达式的对应关系，理解函数与对应的方程、不等式的关系，增强几何直观；会用函数表达现实世界事物的简单规律，经历用数学的语言表达现实世界的过程，提升学习数学的兴趣，进一步发展应用意识。 在教学过程中，要关注数学知识与实际的结合，让学生在实际背景中理解数量关系和变化规律，经历从实际问题中建立数学模型、求解模型、验证反思的过程，形成模型观念；要关注基于代数的逻辑推理，如代数运算规律的论证（例 66）、韦达定理的论证（例 67）、基于图象的函数想象（例 68）；能在比较复杂的情境中，提升学生发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力，以及有逻辑地表达与交流的能力。 ## Logs - [[2026-05-18]] - 从 [[义务教育课程标准@初中部分]] 拆分而来，清洗 OCR 噪声，LaTeX 化公式