# 比例 > [!summary] > 比例是两个相等的比组成的等式（$a:b=c:d$）。判断能否组成比例看比值是否相等；它的基本性质"外项积 = 内项积"是解比例的钥匙。 练习 → [[比例练习]] ## 为什么需要它 先想一想：照片放大后不变形，是因为长宽的比没变；地图、配方、相似图形，处处是"两个比相等"。 只研究单个 [[比]] 不够——更有用的是**两个比之间的相等关系**：一旦知道它们相等，就能由已知的几项求出未知项。表达并利用这种相等，就要用比例。 ## 它从哪来 **(a) 要解决的问题**：怎么表达"两个比相等"，并据此求未知量？ **(b) 怎么解决**：两个比值相等，就用等号连起来： > $2:3$ 与 $4:6$，比值都是 $\dfrac23$，于是 $2:3=4:6$。写成分数 $\dfrac23=\dfrac46$ 交叉相乘，立刻得到 $2\times6=3\times4$——这条"外项积 = 内项积"特别好用。 **(c) 由此得到定义与性质**：表示两个比相等的式子叫比例；其基本性质是外项之积等于内项之积。 ## 一句话定义 表示两个比相等的式子叫比例：$a:b=c:d$（也写成 $\dfrac ab=\dfrac cd$）。$a$、$d$ 是**外项**，$b$、$c$ 是**内项**。 ## 正式表述 **基本性质（交叉相乘）**： $a:b=c:d\iff a\times d=b\times c$ **判断能否组成比例**：看两个比的比值是否相等（或交叉相乘是否相等）。 > [!tip] 比的基本性质 vs 比例的基本性质 > - **[[比]]的基本性质**：前后项同乘同除，比值不变 → 用来**化简比**（管一个比）。 > - **比例的基本性质**：外项积 = 内项积 → 用来**[[解比例]]**（管两个比的等式）。 ## 典型例题 **【基础】** $2:3$ 和 $4:6$ 能组成比例吗？ > [!tip]- 答案 > 比值都是 $\dfrac23$（或 $2\times6=3\times4=12$），能：$2:3=4:6$。 **【基础】** 在比例 $3:4=9:12$ 中，外项、内项各是什么？验证基本性质。 > [!tip]- 答案 > 外项 $3$、$12$，内项 $4$、$9$；$3\times12=36=4\times9$ ✓。 **【综合】** 用 $2$、$3$、$4$、$6$ 四个数组成一个比例。 > [!tip]- 答案 > 如 $2:3=4:6$（需满足外项积 = 内项积，$2\times6=3\times4$）。 **【探究】** $a:b=c:d$，能不能推出 $a:c=b:d$？ > [!tip]- 答案 > 能。由 $ad=bc$ 同样可得 $a:c=b:d$（交叉积相同）。比例可以有多种等价变形。 > [!warning] 易错点 > - **外项内项别认错**：写成 $a:b=c:d$ 时，两端的 $a$、$d$ 是外项。 > - **判断组比例看比值/交叉积**，不是看数字像不像。 ## 这个概念的好处 比例把"两个比相等"变成可计算的等式，其"交叉相乘"是 [[解比例]]、相似三角形、物理公式变形的通用工具。它也是 [[正比例]]、[[比例尺]] 的基础，往上通向初中的相似与函数。 > [!info]- 学习边界：掌握 / 接触 / 不要求 > - **必须掌握**：能判断两个比是否相等；能写出简单比例；知道比例基本性质“外项积等于内项积”；能用比例解决简单对应关系问题。 > - **可以接触**：比例的多种等价变形；用比值相等、倍数关系或交叉相乘判断比例；与正比例、比例尺、相似图形的联系。 > - **不作为本学段要求**：复杂比例式变形；比例方程组；脱离情境的大量构造比例技巧。 > [!note]- 教师视角·课标解析 > **课标锚点（2022 课标·第三学段）** > - **内容要求**：在实际情境中理解比和比例的含义，能解决简单的问题。 > - **学业要求**：理解比值相同的量，能在具体情境中解决简单比例问题。 > - **教学提示**：借助照片放大缩小、食品配比等情境理解比例意义。 > - **锚点**：[[第三学段（5~6 年级）@数与代数]] > > **关键词**：相等的比、比值相同、外项、内项、对应关系。 > > **关键解释**：比例的核心是“两个比的比值相同”，不是先背交叉相乘。交叉相乘是好用的工具，但必须建立在对应关系一致的前提上。 > > **建议路径** > 1. 先判断两个比的比值是否相等。 > 2. 再用相等的比写成比例。 > 3. 通过分数等式解释外项积等于内项积。 > 4. 进入 [[解比例]] 时反复检查对应量是否对齐。 > > **命题边界** > - 重点考查比例意义和对应关系，不宜只考交叉相乘计算。 > - 不宜把复杂代数比例式变形作为小学核心难度。 --- ## Logs - 2026-05-31 补充练习入口、学习边界与教师视角课标解析；正文不再维护相关概念清单 - 2026-05-29 改写为问题驱动结构 + frontmatter；从"两个比相等"切入，保留外项内项、交叉相乘、比 vs 比例性质对比