# 等底等高的圆柱与圆锥
练习 → [[圆锥的体积练习]]
> [!summary]
> 等底等高时，圆锥体积是圆柱体积的三分之一，这是圆柱和圆锥体积关系的核心。
## 核心理解
如果圆柱和圆锥等底等高，那么：
$V_{\text{锥}}=\dfrac13V_{\text{柱}}$
也就是说：
$V_{\text{柱}}=3V_{\text{锥}}$
切削类问题常用：
$V_{\text{削去}}=V_{\text{柱}}-V_{\text{锥}}=\dfrac23V_{\text{柱}}$
## 易混点
这个 $\dfrac13$ 关系只在“等底等高”时成立。只说“一个圆柱和一个圆锥”是不够的。
> [!info]- 学习边界：掌握 / 接触 / 不要求
> - **必须掌握**：等底等高时 $V_{\text{锥}}=\dfrac13V_{\text{柱}}$，也就是 $V_{\text{柱}}=3V_{\text{锥}}$；会处理简单切削体积。
> - **可以接触**：已知削去部分反推原圆柱或圆锥体积；用实验理解三分之一关系。
> - **不作为本学段要求**：不等底不等高的比例关系；复杂容器倒置综合；圆锥表面积和侧面积。
> [!note]- 教师视角·课标解析
> **课标锚点（2022 课标·第三学段）**
> - **内容要求**：认识圆锥并探索其体积的计算公式，能用这些公式解决简单的实际问题。
> - **学业要求**：认识圆锥，能说出圆锥的特征，会计算圆锥的体积；能用相应公式解决简单的实际问题。
> - **教学提示**：通过操作、转化等活动探索立体图形的体积和表面积的计算方法；沟通立体图形之间的联系，如圆柱和圆锥的相同点和不同点。
> - **锚点**：[[第三学段（5~6 年级）@图形与几何]]
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> **关键词**：等底等高、圆柱、圆锥、三分之一、切削。
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> **关键解释**：这页把圆柱和圆锥体积关系单独钉住，避免学生把“圆锥是圆柱的三分之一”泛化到任意圆柱和圆锥。
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> **建议路径**：1. 先确认底面积相等、高相等；2. 使用 $V_{\text{锥}}=\dfrac13V_{\text{柱}}$；3. 在切削题中把削去部分看作剩余体积差。
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> **命题边界**：可考等底等高体积关系和简单切削；不考不等底高复杂比例或圆锥表面积。
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## Logs
- 2026-05-31 补充 frontmatter 图谱关系、练习入口、学习边界与教师视角课标解析；限定等底等高体积关系的适用条件