[[纖維叢]]（**fiber bundle**）與[[層]]（**sheaf**）在數學中都是用來描述局部與全局之間關係的結構，然而，它們的定義和應用場景有所不同，雖然在某些情況下兩者有關聯。 ### 纖維叢（Fiber Bundle） 纖維叢是將一個幾何空間（底空間）上的每個點都聯繫到一個纖維空間，並形成更大結構的概念。它主要關注幾何結構的局部-全局對應。在纖維叢中，纖維是每個基底點上的“局部”結構，叢的總空間表示纖維如何在整個底空間上變化。 ### 層（Sheaf） 層是一種更抽象的工具，用來在拓撲空間上處理局部數學對象（例如函數、向量場、環、模等）如何延拓為全局對象。層是一個函子，它將拓撲空間的每個開集關聯到一組代數結構，並規定如何在不同開集之間“粘合”這些結構。因此，層是對局部定義的對象的系統化追踪，並描述如何將這些局部對象延拓成全局對象。 ### 兩者之間的關聯 纖維叢與層之間的關聯來自於兩者都涉及局部與全局之間的聯繫。在某些場合下，纖維叢可以看作是一個特殊類型的層。例如，當纖維是向量空間時，這樣的纖維叢可以被看作是向量場層的延伸。因此，纖維叢的局部幾何結構可以通過層的語言來理解，這在代數幾何中尤為常見，層理論也可以用來研究纖維叢的代數和拓撲性質。 ### 總結 - **纖維叢**：主要是一個幾何結構，用來描述局部幾何對象（如向量空間、流形等）如何在全局上變化。 - **層**：是一個更抽象的代數結構，用來描述局部代數對象（如函數、模等）如何在不同區域間協同變化並延拓成全局對象。 在某些情況下，纖維叢可以被解釋為特定類型的層，例如向量叢可以與向量場的層相聯繫。 # References ```dataview Table title as Title, authors as Authors where contains(subject, "fiber bundle") or contains(subject, "sheaf") or contains(subject, "纖維叢") or contains(subject, "層") sort title, authors, modified ```