Teorema de Categoría de Baire - 🪴 Math Digital Garden

# $\color{ffffff}\colorbox{#633e26}{- Teorema de Categoría de Baire -}$ --- 🟤 #Definición > [!AMDefinición] $~$ Subconjunto Denso en Ninguna Parte > > Sean $(X, \mathscr{T})$ un [[Espacio Topológico|ET]] y $Y\subseteq X$. > > Diremos que $Y$ es **denso en ninguna parte** si y sólo si $\forall~U\in \mathscr{T}\setminus \{\varnothing\}$, $U\nsubseteq \overline{Y}$. > > Equivalentemente, $Y$ es [[Teorema de Categoría de Baire|denso en ninguna parte]] si y sólo si $\text{int}(\overline{Y})=\varnothing$. ##### Ejemplo. $i)$ Naturalmente, $\mathbb{Z}$ es [[Teorema de Categoría de Baire|denso en ninguna parte]] en $(\mathbb{R}, \mathscr{T}_{e})$. 🟤 #Definición > [!AMDefinición] $~$ Subconjunto de Primer y Segunda Categoría > > Sean $(X, \mathscr{T})$ un [[Espacio Topológico|ET]] y $Y\subseteq X$. > > Diremos que: > > - $(Y, \mathscr{T}_{Y})$ es de **primer categoría** si y sólo si, $\exists~\{E_{n}\mid n\in \mathbb{N}\}\subseteq\mathscr{P}(X)$ tal que $\forall~n\in \mathbb{N}$, $E_{n}$ es [[Teorema de Categoría de Baire|denso en ninguna parte]] y además, > $Y=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n}$ > - $(Y,\mathscr{T}_{Y})$ es de **segunda categoría** si y sólo si no es de [[Teorema de Categoría de Baire|primer categoría]]. 🟤 #Teorema > [!AMTeorema] $~$ Teorema de Categoría de Baire > > Sean $(X, d)$ un [[Espacio Métrico Completo|EMC]]. > > Entonces, $(X, \mathscr{T})$ es de [[Teorema de Categoría de Baire|segunda categoría]]. --- ##### Demostración: --- 🟤 #Teorema > [!AMTeorema] $~$ Teorema de Baire I > > > Sean $(X, \mathscr{T})$ un [[Espacio Topológico|ET]] [[ET Compacto|compacto]] y $Y\subseteq X$ de [[Teorema de Categoría de Baire|primer categoría]]. > > Entonces, $X\setminus Y$ es [[Caracterización de Conexo Linealmente Ordenado|denso]] en $(X, \mathscr{T})$. --- ##### Demostración: --- 🟤 #Teorema > [!AMTeorema] $~$ Teorema de Baire II > > Sean $(X, \mathscr{T})$ un [[Espacio Topológico|ET]], $(f_{n})\in \mathscr{C}(X)^{\mathbb{N}}$ y $f\in \mathscr{C}(X)$ tal que $(f_{n})$ [[Tipos de Convergencia de una Sucesión de Funciones|converge puntualmente]] a $f$. > > Entonces, $\text{disc}(f)\subseteq X$ es de [[Teorema de Categoría de Baire|primer categoría]]. --- ##### Demostración: --- 🟤 #Corolario > [!AMCorolario] $~$ Teorema de Categoría de Baire > > Sean $(X, \lVert \cdot \rVert)$ un [[Espacio de Banach|EB]]. > > Si $\exists~\{E_{n}\mid n\in \mathbb{N}\}\subseteq \mathscr{P}(X)$ tal que $\displaystyle{X=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n}}$, entonces $\exists~N\in \mathbb{N}$ tal que $\text{int}(\overline{E_{N}})\neq \varnothing$. --- ##### Demostración: --- ### Links: [[Espacio de Banach|EB]] | [[Interior en un EM|interior]] | [[Caracterización de Conexo Linealmente Ordenado|denso]] | [[Espacio Topológico|ET]] | [[ET Compacto|compacto]] ---