# $\color{ffffff}\colorbox{#9932CC}{- Prop. de Secuencias Exactas -}$ --- 🟣 #Proposición > [!AlmProposición] $~$ Caracterización de Secuencia Semiexacta > > Sean $\forall~n\in \mathbb{Z}$, ${}_{R}M_{n}\in R\text{ - Mod}$ y $f_{n}:M_{n-1}\to M_{n}$ un $R$[[R-Homomorfismo Izquierdo|-homomorfismo]]. > > Entonces, $\forall~n\in \mathbb{Z}$, $\{f_{n},f_{n+1}\}$ es [[Secuencia Exacta de R-Homomorfismos|semiexacta]] en $M_{n}$ si y sólo si, $\forall~x\in M_{n-1}$, $(f_{n+1}\circ f_{n-1})(x)=0$. ```tikz \usepackage{tikz-cd} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath} \begin{document} \begin{tikzcd}[ ,every arrow/.append style={maps to} ,every label/.append style={font=\normalsize}, sep=huge,] \cdots \arrow[r, "f_{n-1}"] & M_{n-1} \arrow[r, "f_{n}"] & M_{n} \arrow[r, "f_{n+1}"] & M_{n+1} \arrow[r, "f_{n+2}"] & \cdots \end{tikzcd} \end{document} ``` --- ##### <font style="color:#ac62d1"> Demostración:</font> --- 🟣 #Proposición > [!AlmProposición] $~$ Ejemplo de Secuencia Exacta Cociente > > Sea ${}_{R}M\in R\text{ - Mod}$ y $N\in \mathscr{S}_{R}(M)$. > > Entonces se tiene que, la [[Secuencia Exacta de R-Homomorfismos|secuencia]]: > $\{0\}\xrightarrow{j}N\xrightarrow{i}M\xrightarrow{\eta_{N}}M/N\xrightarrow{0}\{0\}$ > es [[Secuencia Exacta de R-Homomorfismos|exacta]]. --- ##### <font style="color:#ac62d1"> Demostración:</font> --- 🟣 #Proposición > [!AlmProposición] $~$ Propiedad de Secuencia Exacta > > Sean ${}_{R}M,{}_{R}M',{}_{R}M''\in R\text{ - Mod}$ , $f:M'\to M$ un $R$[[R-Homomorfismo Izquierdo|-homomorfismo]] y $g:M\to M''$ un $R$[[R-Homomorfismo Izquierdo|-homomorfismo]]. > > Si la siguiente [[Secuencia Exacta de R-Homomorfismos|secuencia]]: > $\{0\}\xrightarrow{j}M'\xrightarrow{f}M\xrightarrow{g}M''\xrightarrow{0}\{0\}$ > es [[Secuencia Exacta de R-Homomorfismos|exacta]], entonces $\text{Im}(f)\cong M'$ y $M/\text{Im}(f)\cong M''$. --- ##### <font style="color:#ac62d1"> Demostración:</font> --- 🟣 #Proposición > [!AlmProposición] $~$ Monomorfismo y Epimorfismo en Secuencia Exacta > > Sean ${}_{R}M$, ${}_{R}M'$, ${}_{R}N$, ${}_{R}N'\in R\text{ - Mod}$, $f:N'\to N$ un $R$[[R-Homomorfismo Izquierdo|homomorfismo]], $g:N\to M$ un $R$[[R-Homomorfismo Izquierdo|-homomorfismo]] y $h:M\to M'$ un $R$[[R-Homomorfismo Izquierdo|-homomorfismo]]. > > Si la siguiente [[Secuencia Exacta de R-Homomorfismos|secuencia]]: > $N'\xrightarrow{f}N\xrightarrow{g}M\xrightarrow{h}M'$es [[Secuencia Exacta de R-Homomorfismos|exacta]], entonces se tiene que: > > - $h$ es un $R$[[R-Epimorfismo y R-Monomorfismo entre R-Módulos|-monomorfismo]] si y sólo si $g\equiv 0$ > $~$ > - $f$ es $R$[[R-Epimorfismo y R-Monomorfismo entre R-Módulos|-epimorfismo]] si y sólo si $g\equiv 0$ --- ##### <font style="color:#ac62d1"> Demostración:</font> --- #### <font style="color:#ac62d1"> Links:</font> [[R-Módulo Izquierdo y Derecho|-módulo izquierdo]] | [[R-Homomorfismo Izquierdo|homomorfismo]] | [[Secuencia Exacta de R-Homomorfismos|semiexacta]] | [[R-Submódulo Izquierdo|submódulo]] | [[R-Epimorfismo y R-Monomorfismo entre R-Módulos|epimorfismo natural]] | [[inclusión]] | [[Secuencia Exacta de R-Homomorfismos|exacta]] | [[R-Epimorfismo y R-Monomorfismo entre R-Módulos|monomorfismo]] | [[R-Epimorfismo y R-Monomorfismo entre R-Módulos|epimorfismo]] ---