# $\color{ffffff}\colorbox{#9932CC}{- Prop. de $R$ - Módulos Inyectivos -}$ --- 🟣 #Proposición > [!AlmProposición] $~$ Suma Directa Externa Inyectiva y Producto Directo de Inyectivos > > > Sean $R$ un [[Anillo|anillo]] y $\{{}_{R}I_{j}\mid j \in J\}\subseteq R\text{ - Mod}$. > > Entonces se tiene que, > > - Si $\displaystyle{\bigoplus_{j~\in~J}}~I_{j}$ es [[R-Módulo Inyectivo|inyectivo]], entonces $\forall~j\in J$, $I_{j}$ es [[R-Módulo Inyectivo|inyectivo]]. > $~$ > - Si $\forall~j\in J$, $I_{j}$ es [[inyectivo]], entonces $\displaystyle{\prod_{j~\in~J}I_{j}}$ es [[R-Módulo Inyectivo|inyectivo]]. --- ##### <font style="color:#ac62d1"> Demostración:</font> --- 🟣 #Teorema > [!AlmProposición] $~$ Caracterizaciones de Módulo Inyectivo > > Sean $R$ un [[Anillo|anillo]] y ${}_{R}I\in R\text{ - Mod}$. > > Entonces, los siguientes son equivalentes: > > - $I$ es [[R-Módulo Inyectivo|inyectivo]] > $~$ > - Dada una [[Secuencia Exacta Corta de R-Homomorfismos|secuencia exacta corta]] como: > $\{0\}\xrightarrow{j}I\xrightarrow{g}M\xrightarrow{f}N\xrightarrow{0}\{0\}$ > esta se [[Secuencia y R-Homomorfismo Escindible|escinde]]. > $~$ > - $\exists~{}_{R}K\in R\text{ -Mod}$ [[R-Módulo Inyectivo|inyectivo]] tal que $\exists~K_{1},K_{2}\in \mathscr{S}_{R}(K)$ satisfacen que $K=K_{1}\oplus K_{2}$ y, $I\cong K_{1}$ o $I\cong K_{2}$. > $~$ > - Dada una [[Secuencia Exacta Corta de R-Homomorfismos|secuencia exacta corta]] como: > $\{0\}\xrightarrow{j}M'\xrightarrow{g}M\xrightarrow{f}M''\xrightarrow{0}\{0\}$ > entonces la [[Secuencia Exacta de R-Homomorfismos|secuencia]]: > $\{0\}\xrightarrow{j}\text{Hom}_{R}(M'', I)\xrightarrow{f^{*}}\text{Hom}_{R}(M,I)\xrightarrow{g'^{~*}}\text{Hom}_{R}(M', I)\xrightarrow{0}\{0\}$ --- ##### <font style="color:#ac62d1"> Demostración:</font> --- #### <font style="color:#ac62d1"> Links:</font> [[Anillo]] | [[R-Módulo Inyectivo|inyectivo]] | [[Secuencia Exacta Corta de R-Homomorfismos|secuencia exacta corta]] | [[R-Homomorfismos desde Producto Directo y Suma Directa|R-homomorfismo inducido]] | [[Suma Directa de Submódulos|sumando directo]] | [[R-Epimorfismo y R-Monomorfismo entre R-Módulos|-isomorfismos]] | [[Producto Directo de una Familia]] | [[Suma Directa Externa de R-Módulos]] ---