Homomorfismo de Grupos - 🪴 Math Digital Garden

# $\color{ffffff}\colorbox{#9932CC}{- Homomorfismos de Grupos -}$ --- 🟣 #Definición > [!Almdefinición] $~$ Homomorfismo de Grupos > > Sean $(G,*)$ y $(H,\circ)$ [[Grupo|grupos]], y sea $\varphi: (G,*)\to(H,\circ)$ una [[Función|función]]. > > Diremos que $\varphi$ es un **homomorfismo de grupos** u **homomorfismo**, si y sólo si, $\forall~a,b\in G$, > > $\varphi(a*b)=\varphi(a)\circ \varphi (b)$ > > Además, diremos que $\varphi$ es un **homomorfismo trivial** si y sólo si, $\forall~a\in G$, $\varphi(a)=e_{H}$. ##### Observaciones. $i)$ Es evidente que, $\varphi(e_{G})=\varphi(e_{G}*e_{G})=\varphi(e_{G})\circ\varphi(e_{G})~~~\therefore~~~\varphi(e_{G})=e_{H}$ $ii)$ Dado $g\in G$, $\varphi(g^{-1})=\varphi(g)^{-1}$ En efecto, $\varphi(g)\circ\varphi(g^{-1})=\varphi(g*g^{-1})=\varphi(e_{G})=e_{H}$ 🟣 #Definición > [!Almdefinición] $~$ Endomorfismo de Grupos > > Sean $(G, *)$ un [[Grupo|grupo abeliano]] y $\varphi:(G,*)\to (G,*)$ una [[Función|función]]. > > Diremos que $\varphi$ es un **endomorfismo** de $(G,*)$ si y sólo si $\varphi$ es un [[Homomorfismo de Grupos|homomorfismo]]. > > Además, denotaremos: > > $\text{End}(G):=\{\varphi:(G,*)\to (G,*)\mid \varphi\text{ es un endomorfismo} \}$ ##### Observaciones. $ii)$ *$\text{End}(G)$ es un anillo* Veamos que podemos dotar a $\text{End}(G)$ con una estructura de [[Anillo|anillo]]. Consideremos la [[operación binaria]]: $+:\text{End}(G)\times \text{End}(G)\to \text{End}(G)~;~+(f,g)\mapsto f+g$ en donde, $f+g:G\to G~;~(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ Entonces, se comprueba que $(\text{End}(G),+)$ es un [[Grupo|grupo abeliano]] en donde el [[Homomorfismo de Grupos|endomorfismo]]: $\tilde{0}:G\to G~;~\tilde{0}(g)=e$ es el [[Grupo|neutro]] de $(\text{End}(G), +)$. Además, dado $\varphi\in \text{End}(G)$ el [[Homomorfismo de Grupos|endomorfismo]]: $-\varphi:G\to G~;~(-\varphi)(x)=-\varphi(x)$ es el [[Grupo|inverso]] de $\varphi$. Ahora bien, la [[operación binaria]]: $\star:\text{End}(G)\times \text{End}(G)\to \text{End}(G)~;~\star(f,g)\mapsto f\star g$ en donde, $f\star g:G\to G~;~(f\star g)(x)=(f(g(x))=(f\circ g)(x)$ hace que $(\text{End}(G),+,\star)$ sea un [[Anillo|anillo]] con el [[Homomorfismo de Grupos|endomorfismo]]: $1_{G}:G\to G~;~1_{G}(x)=x$ el [[Anillo|neutro]] para $\star$. $ii)$ *Composición Izquierda y Derecha* En general, podemos definir la [[operación binaria]] $\star$ de manera más precisa. Dados $f,g\in \text{End}(G)$, $\forall~x\in G$, $(f\star_{i} g)(x)=f(g(x))~~~\wedge~~~(x)(f\star_{d}g)=((x)g)f$ 🟣 #Notación > [!AlmNotación] $~$ Anillos de Endomorfismos > > Sea $(G,*)$ un [[Grupo|grupo abeliano]]. > > Definimos y denotamos: > > - el **anillo de endomorfismos izquierdo** como: > $\text{End}_{i}(G):=(\text{End}(G),+,\star_{i})$ > - el **anillo de endomorfismos derecho** como: > > $\text{End}_{d}(G):=(\text{End}(G),+,\star_{d})$ --- #### Links: [[Grupo|grupos]] | [[Función|función]] ---