# $\color{ffffff}\colorbox{#9932CC}{- Grupo de Unidades de un Anillo -}$
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Sea $(R,+,*)$ un [[anillo con uno]] y $a\in R$.
Decimos que $a$ es **invertible** si y sólo si, $\exists~b\in R:a*b=b*a=1_{R}$. En este caso, denotamos $a^{-1}:=b$.
Sea $(R,+,*)$ un [[anillo con uno]] y $a\in R$ [[invertible]].
Entonces, $\exists!~b\in R:a*b=b*a=1_{R}$.
Supón que $\exists~b'\in R:a*b'=b'*a=1_{R}$. Notemos que, usando la [[asociativa|asociatividad]] de $*$,
$b'=b'*1_{R}=b'*(a*b)=(b'*a)*b=1_{R}*b=b$
Es decir, $b$ es único.
Sea $(R,+,*)$ un [[Anillo|anillo]] y sea $e\in R$ el **neutro** del [[Grupo|grupo]] $(R,+)$.
Denotamos $0:=e$ y lo llamaremos el **cero** de $(R,+,*)$.
Además, $\forall~a\in R$, denotamos al [[inverso]] de $a$ en $(R,+)$ como $a^{-1}$. Este será llamado **inverso multiplicativo** de $a$.
Sea $(R,+,*)$ un [[anillo con uno]]. Denotamos,
$R^{*}:=\{a\in R\mid \exists~a^{-1}\in R:a^{-1}*a=a*a^{-1}=1_{R}\}$
Es decir, $R^{*}$ es el conjunto de los **elementos invertibles** de $(R,+,*)$.
Sea $(R,+,*)$ un [[anillo con uno]]. Entonces $(R^{*},*)$ es un [[Grupo|grupo]].
A $(R^{*},*)$ lo llamamos el **grupo de unidades** de $(R,+,*)$.
Veamos que $*:R^{*}\times R^{*}\to R^{*}$. Sean $a,b\in R^{*}$, veamos que $a*b\in R^{*}$. Naturalmente $\exists~a^{-1},b^{-1}\in R$ de modo que,
$b*b^{-1}=1_{R}~~~\wedge~~~a*a^{-1}=1_{R}$
Claramente, $b^{-1}*a^{-1}\in R$ y además,
$(a*b)*(b^{-1}*a^{-1})=a*(b*b^{-1})*a^{-1}=a*(1_{R})*a^{-1}=(a*1_{R})*a^{-1}$
$\therefore~~~(a*b)*(b^{-1}*a^{-1})=a*a^{-1}=1_{R}$
Análogamente comprobamos que, $(b^{-1}*a^{-1})*(a*b)=1_{R}$. Asà pues,
$(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$
Como $*$ es [[asociativa]] en $R$, también lo es en $R^{*}$. Dado que $1_{R}*1_{R}=1_{R}$, $1_{R}\in R^{*}$. Además, $1_{R}$ es el [[Grupo|neutro]] en $R^{*}$ para $*$.
Finalmente, si $a\in R^{*}$ entonces $\exists~a^{-1}\in R:a*a^{-1}=a^{-1}*a=1_{R}$. Por ello, $a^{-1}\in R^{*}$. AsÃ, $(R^{*},*)$ es un [[Grupo|grupo]].
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