# $\color{ffffff}\colorbox{#9932CC}{- Acciones de Grupos -}$ --- 🟣 #Definición > [!Almdefinición] $~$ Acción de Grupo por la Izquierda > > Sean $(G, *)$ un [[Grupo|grupo]], $X$ un [[Conjunto|conjunto]] y $\Theta:G\times X\to X$ una [[Función|función]]. > > Diremos que $\Theta$ es una **acción de grupo** por la **izquierda** si y sólo si: > > - $\forall~x\in X$, $\Theta(e,x)=x$ > $~$ > - $\forall~g,h\in G$, $\forall~x\in X$, $\Theta(h,\Theta(g,x))=\Theta(hg,x)$ > > En tal caso, decimos que $G$ **actúa por la izquierda** sobre $X$ y lo notaremos como $G\curvearrowright X$. Lo anterior puede definirse de manera análoga para una **acción de grupo** por la derecha con una [[Función|función]] $\Theta:X\times G\to X$. 🟣 #Definición > [!Almdefinición] $~$ $G$-Conjunto Izquiero y Derecho > > Sean $(G, *)$ un [[Grupo|grupo]] y $X$ un [[Conjunto|conjunto]]. > > Diremos que: > > - $X$ es un $G$**-conjunto izquierdo** si y sólo si $G\curvearrowright X$ > $~$ > - $X$ es un $G$**-conjunto derecho** si y sólo si $X\curvearrowleft G$ ##### <font style="color:#ac62d1"> Ejemplos.</font> $i)$ $GL(n, \mathbb{R})\curvearrowright \mathbb{R}^{n}$ mediante la [[Acción de Grupo|acción de grupo]], $(A,x)\mapsto [A]_{\beta}~x$ con $\beta$ la [[bases canónicas|base canónica]] de $\mathbb{R}^{n}$. $ii)$ Dado $V$ un [[Espacio Vectorial|EV]] sobre $\mathbb{R}$, $\mathbb{Z}_{2}\curvearrowright V$ mediante, $(t,x)\mapsto tx$ $iii)$ Dado $(G, *)$ un [[Grupo|grupo]] y $H\leq G$, $H\curvearrowright G$ mediante, $(h,g)\mapsto hg$ 🟣 #Definición > [!Almdefinición] $~$ Acción de Grupo Transitiva > > Sean $(G, *)$ un [[Grupo|grupo]] y $X$ un $G$[[Acción de Grupo|-conjunto]]. > > Diremos que $G$ [[Acción de Grupo|actúa]] sobre $X$ de manera **transitiva** si y sólo si, $\forall~x,y\in X$, $\exists~g\in G:\Theta(g,x)=y$. > > Aquí $\Theta$ es la [[Acción de Grupo|acción de grupo]] que hace que $G\curvearrowright X$. Existen [[Acción de Grupo|acciones de grupo]] que no son [[Acción de Grupo|transitivas]], como por ejemplo $O(n)\curvearrowright\mathbb{S}^{n-1}$. --- #### <font style="color:#ac62d1"> Links:</font> [[Grupo]] | [[Conjunto]] | [[Función]] | [[Grupo General Lineal]] | [[Subgrupo]] | [[grupo ortogonal]] ---