Superficies Cuádricas - 🪴 Math Digital Garden

# $\color{ffffff}\colorbox{#A60000}{- Superficies Cuádricas y Cilíndricas-}$ --- 🔴 #Definición > [!GADefinición] $~$ Ecuación General de Segundo Grado > > Sea $\mathcal{S}\subseteq\mathbb{R}^{3}$. > > Diremos que $S$ es una **superficie cuádrica** en $\mathbb{R}^{3}$ si y sólo si, $\exists~A,B,C,D,E,F,G,H,J,K\in \mathbb{R}$ tales que, $\forall~(x,y,z)\in \mathcal{S}$, > $F(x,y,z):=Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Jz+K=0$ > Más aún, si ocurre que $F(x,y)=0$, $F(x,z)=0$ o $F(y,z)=0$ describen a $\mathcal{S}$, entonces $S$ será llamado un **cilindro**. $F$ es llamada la **ecuación general de segundo grado**. ##### Observaciones. $i)$ *Términos Rectangulares* Los términos en $F$ como: $Dxy~~~~~~~~Exz~~~~~~~~Fyz$ son llamados **términos rectangulares**. Si estos están ausentes en $F$ (es decir, $D,E,F=0$), entonces nuestra [[Superficies Cuádricas|superficie cuádrica]] no esta rotada en $\mathbb{R}^{3}$. En este caso, $\mathcal{S}$ esta descrita por: $Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Gx+Hy+Jz+ K=0$ Luego es posible simplificar la expresión a una del tipo: $Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+J=0~~~~\vee~~~~Ax^{2}+By^{2}+Jz=0$ $ii)$ *Trazas de una Superficie Cuádrica* Al intersecar $\mathcal{S}$ con un plano $\mathcal{P}$ [[paralelo]] a $\mathcal{X}$, $\mathcal{Y}$ o $\mathcal{Z}$, obtenemos curvas planas llamadas **trazas** de $\mathcal{S}$. Esto significa considerar en conjunto $F(x,y,z)=0$ con alguna condición del tipo $x=k$, $y=k$ y $z=k$. ##### Ejemplos Triviales. $i)$ *Cilindro Paralelo al Eje* $\mathcal{Z}$ $x^{2}+y^{2}=a^{2}~;~z\in \mathbb{R}$ $ii)$ *Cilindro Paralelo al Eje* $\mathcal{Y}$ $x^{2}+z^{2}=a^{2}~;~y\in \mathbb{R}$ $iii)$ *Cilindro Paralelo al Eje* $\mathcal{X}$ $y^{2}+z^{2}=a^{2}~;~x\in \mathbb{R}$ En todos los ejemplos anteriores, $a\in \mathbb{R}$ es el [[radio]] del [[Superficies Cuádricas|cilindro]]. $~$ ![[d3.png]] 🔴 #Definición > [!GADefinición] $~$ Superficie Cilíndrica > > Sea $\mathcal{P}\subseteq \mathbb{R}^{2}$ un [[Plano|plano]], $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{P}$ una [[Curva Suave y su Longitud|curva]] y $\mathscr{l}\subseteq \mathbb{R}^{3}$ una [[rectas|recta]] tal que $\mathscr{l}\nparallel\mathcal{P}$. > > Una **superficie cilíndrica** $\mathcal{S}\subseteq \mathbb{R}^{3}$ es una **superficie** generada por el movimiento el movimiento de una [[rectas|recta]] $\mathscr{m}$ a lo largo de $\mathcal{C}$ de modo que $\mathscr{l}\parallel \mathscr{m}$. > > Además, diremos que: > > - $\mathscr{m}$ es la **generatriz** de $\mathcal{S}$ > $~$ > - $\mathcal{C}$ es la **directriz** de $\mathcal{S}$ ##### Observaciones. $i)$ En general, $F(x,y)=0$ describe un cilindro con [[Superficies Cuádricas|directriz]] $\mathscr{l}$ tal que $\mathscr{l}\parallel \mathcal{Z}$ y [[Superficies Cuádricas|directriz]] $\mathcal{C}$ descrita por $F(x,y)=0$ y $z=0$. Así mismo, $F(x,z)=0$ describe un cilindro con [[Superficies Cuádricas|directriz]] $\mathscr{l}$ tal que $\mathscr{l}\parallel \mathcal{Y}$ y [[Superficies Cuádricas|directriz]] $\mathcal{C}$ descrita por $F(x,z)=0$ y $y=0$. Finalmente $F(y,z)=0$ describe un cilindro con [[Superficies Cuádricas|directriz]] $\mathscr{l}$ tal que $\mathscr{l}\parallel \mathcal{X}$ y [[Superficies Cuádricas|directriz]] $\mathcal{C}$ descrita por $F(y,z)=0$ y $x=0$. $ii)$ *Obtener Generatriz de Cilindro No Rotado* En los casos anteriores, es posible encontrar la [[Superficies Cuádricas|generatriz]] de $\mathcal{S}$ fijando un punto en $\mathcal{C}$ de la forma $(x_{0},y_{0},z_{0})$. Una vez dado el [[vector director]] $(a,b,c)\in \mathbb{R}^{3}$, del eje de $\mathcal{S}$ (que en los casos anteriores es el [[vector director]] de $\mathcal{X}$, $\mathcal{Y}$ o $\mathcal{Z}$), basta considerar la **ecuación** que describe a una [[rectas|recta]]: $(x,y,z)\in \mathscr{l}_{(x_{0},y_{0},z_{0})}~~~\iff~~~\exists~\lambda\in \mathbb{R:~}(x,y,z)=(x_{0},y_{0},z_{0})+\lambda (a,b,c)$ ##### Ejemplos. $i)$ *Superficies Cilíndricas que no son Cilindros* ![[🧠 Cerebro Matemático/📐 Matemáticas/🔴 Geometría Analítica/Anexos/image (3).png]] $ii)$ *Ejemplo de Cilindro Rotado* En el caso de nuestros [[Superficies Cuádricas|cilindros]] no rotados descritos por ecuaciones del tipo: $\mathcal{S}:~~x^{2}+y^{2}=a^{2}~;~z\in \mathbb{R}$ es trivial notar que al intersecar $\mathcal{S}$ con un [[Plano|plano]] $\mathcal{P}:z=0$, la ecuación describe una [[circunferencia]] $x^{2}+y^{2}=a^{2}$. Si nuestro [[Superficies Cuádricas|cilindro]] se encuentra rotado, la intersección con un [[Plano|plano]] paralelo a algún eje, será en general una [[Elipse|elipse]]. Consideremos por ejemplo: $\mathcal{S}:~~x^{2}+y^{2}+2z^{2}+2xz-2yz=1$ Aunque a primera vista no parece un [[Superficies Cuádricas|cilindro]], los términos $2xz$ y $-2yz$ nos hablan de una posible rotación. Si intersectamos a $\mathcal{S}$ con [[Plano|planos]] del tipo $\mathcal{P}:~z=k\in \mathbb{R}$, entonces: $x^{2}+y^{2}+2k^{2}+2xk-2ky=1$ $\iff~~(x+k)^{2}+(y-k^{2})=1$ Esto es, obtenemos una [[circunferencia]] con centro en $(-k,k,k)$ y [[radio]] $1$ constante para cualquier $k\in \mathbb{R}$. Este hecho resulta fundamental para que $\mathcal{S}$ sea un [[Superficies Cuádricas|cilindro]], si nuestro [[radio]] cambia respecto a $k$, $\mathcal{S}$ podría tratarse de un **hiperboloide**. ![[Pasted image 20250211115540.png]] Si en particular, intersectamos a $\mathcal{S}$ con el [[Plano|plano]] $z=k=0$ entonces $\mathcal{C}:x^{2}+y^{2}=1$ es una [[circunferencia]] centrada en $(0,0,0)$ con [[radio]] $1$. Es esta misma ecuación la [[Superficies Cuádricas|directriz]] de $\mathcal{S}$, luego, la [[rectas|recta]] que une a $(0,0,0)$ con cualquier centro $(-k,k,k)$ posee [[vector director]] $(-1,1,1)$. Así, la [[rectas|recta]] [[Superficies Cuádricas|generatriz]] en $(x_{0},y_{0},z_{0})\in \mathcal{C}$ esta descrita por: $(x,y,z)\in \mathscr{l}_{(x_{0},y_{0},z_{0})}~~~\iff~~~\exists~\lambda\in \mathbb{R:~}(x,y,z)=(x_{0},y_{0},z_{0})+\lambda (-1,1,1)$ $ii)$ *Hiperboloide Rotado* Consideremos $\mathcal{S}:~x^{2}+y^{2}+5z+2xz+4yz-4=0$. Notemos que, al intersecar $\mathcal{S}$ con [[Plano|planos]] $\mathcal{P}:~z=k\in \mathbb{R}$, obtenemos: $x^{2}+y^{2}+5k+2xk+4yk-4=0$ $\iff~~(x+k)^{2}-k^{2}+(y+2k)^{2}-4k^{2}+5k-4=0$ $\iff~(x+k)^{2}+(y+2k)^{2}=5k^{2}-5k+4$ Esta ecuación describe una [[circunferencia]] con [[radio]] $\sqrt{5k^{2}-5k+4}$ y centro $(-k,2k,k)$. Si $k=0$, entonces la [[circunferencia]] posee [[radio]] $2$ y centro $(0,0,0)$. Esto es, $\mathcal{C}:~x^{2}+y^{2}=4$ es la [[Superficies Cuádricas|generatriz]] de $\mathcal{S}$. Puesto que el [[radio]] cambia en función de $k$, $\mathcal{S}$ no es un [[Superficies Cuádricas|cilindro]] si no más bien un **hiperboloide**. ![[Pasted image 20250211121022.png]] --- ### Links: [[Curva Suave y su Longitud|curva]] ---