# $\color{ffffff}\colorbox{#0e319c}{- Clases de Equivalencia -}$ --- 🔵 #Definición > [!Asdefinición] $~$ Clase de Equivalencia > > Sean $A$ un [[Conjunto]] no vacío, $\sim$ una [[relación de equivalencia]] sobre $A$ y $a\in A$. > > Definimos y denotamos la **clase de equivalencia** de $a$ como: > > $[a]_{\sim}:=\{x\in A\mid x\sim a\}\subseteq A$ > Además, $\forall~b\in [a]_{\sim},$ $b$ es llamado **representante de la clase** $[a]_{\sim}$. > 🔵 #Definición > [!Asdefinición] $~$ Conjunto Cociente > > > Sean $A$ un [[Conjunto]] no vacío y $\sim$ una [[relación de equivalencia]] sobre $A$. > > Definimos y denotamos el **conjunto cociente** de $A$ bajo $\sim$ como: > > $A/\sim~:=\{~[a]_{\sim}\mid a\in A\}\subseteq\mathscr{P}(A)$ 🔵 #Definición > [!Asdefinición] $~$ Función Proyección Canónica > > Sean $A$ un [[Conjunto]] no vacío y $\sim$ una [[relación de equivalencia]] sobre $A$. > > Definimos y denotamos la **proyección canónica** como la [[Función|función]]: > > $\pi:A\to A/\sim~;~\pi(a)=[a]_{\sim}$ > Resulta clásico mencionar que [[toda relación de equivalencia induce una partición]], más aún, esta estará dada usando a las [[Clase de Equivalencia|clases de equivalencia]]. Por ello antes aclaramos que es una **partición**. 🔵 #Definición > [!Asdefinición] $~$ Partición de un Conjunto > > Sean $A$ e $I$ dos [[Conjunto|conjuntos]] no vacíos tales que, $\forall~i\in I$, $\exists~A_{i}\subseteq A$. > > Diremos que $P=\{A_{i}\mid i\in I\}$ es una **partición** de $A$ si y sólo si se tiene que: > > - $\forall~i\in I$, $A_{i}\neq \varnothing$ y $\forall~i,j\in I:A_{i}\neq A_{j}$, $A_{i}\cap A_{j}=\varnothing$. > $~$ > - $\displaystyle{\bigcup_{i~\in~I}A_{i}=A}$ Notemos que, como $\forall~i\in I$, $A_{i}\subseteq A$, siempre se tiene que: $\bigcup_{i~\in~I}A_{i}\subseteq A$ --- ### <font style="color:royalblue"> Links: </font> [[Conjunto]] | [[relación de equivalencia]] ---