# $\color{ffffff}\colorbox{#0e319c}{- Axiomas de Peano -}$ --- 🔵 #Axiomas > [!ASAxiomas] $~$ Axiomas de Peano > > Sean $\mathbb{N}$ el conjunto de [[números naturales]] y $\mathfrak{s}\subseteq \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ una [[Relación|relación]] tal que $\text{Dom}(\mathfrak{s})=\mathbb{N}$. > > Los siguientes postulados son llamados los **axiomas de Peano**: > > $i)$ *(El Cero es Natural)* > $0\in \mathbb{N}$ > > $ii)$ *(El Sucesor de un Natural es Único)* > $\forall~n\in \mathbb{N},~\exists~!~m\in \mathbb{N}:(m,n)\in \mathfrak{s}$ > > $iii)$ *(El Cero no es Sucesor de Ningun Natural)* > $\forall~n\in \mathbb{N},~\mathfrak{s}(n)\neq 0$ > > $iv)$ *(Dos Naturales que Comparten Sucesor son Iguales)* > > $\forall~n,m\in \mathbb{N}:\mathfrak{s}(n)=\mathfrak{s}(m),~m=n$ > > $v)$ *(Principio de Inducción Matemática)* > > Sea $A\subseteq\mathbb{N}$ tal que $0\in A$. > > $\text{Si}~\forall~n\in A,~\mathfrak{s}(n)\in A \Longrightarrow~A=\mathbb{N}$ > > Así, $\mathfrak{s}:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\setminus\{0\}$ es una [[Función|función]] [[inyectiva]] llamada la **función sucesor**. Veamos que [[Principio de Inducción|función sucesor]] $\mathfrak{s}:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\setminus \{0\}$ es [[suprayectiva]], es decir, $\forall~n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$, $\exists~m\in \mathbb{N}$ tal que $\mathfrak{s}(m)=n$. Para ello consideremos al [[Conjunto|conjunto]]: $A:=\{n\in \mathbb{N}\setminus\{0\}\mid \exists~m\in \mathbb{N}:\mathfrak{s}(m)=n\}$ Basta probar que $A=\mathbb{N}\setminus \{0\}$. Evidentemente $A_{0}:=A\cup\{0\}\subseteq \mathbb{N}$. Además, dado $n\in A$ entonces $\exists~m\in \mathbb{N}$ tal que $\mathfrak{s}(m)=n$. Y como $\mathfrak{s}(\mathfrak{s}(m))=\mathfrak{s}(n)$ entonces $\mathfrak{s}(n)\in A$. Y $\mathfrak{s}(0)\in A$ debido a que $0\in \mathbb{N}$. Luego por el [[Axiomas de Peano|principio de inducción]] $A_{0}=\mathbb{N}$ y por tanto$A=\mathbb{N}\setminus \{0\}$. --- #### <font style="color:#1a3dab"> Links:</font> [[números naturales]] | [[Relación]] | [[Función]] | [[inyectiva]] ---