# $\color{ffffff}\colorbox{#700000}{- Supremo e Ínfimo -}$ --- 🐦 #Definición > [!TCDefinición] $~$ Cota Superior e Inferior > > Sean $(X,\preceq)$ un [[Conjunto Parcialmente Ordenado|COPO]], $Y\subseteq X$ y $x\in X$. > > Diremos que: > > - $x$ es **cota superior** de $Y$ si y sólo si, $\forall~y\in Y$, $y\preceq x$. > $~$ > - $x$ es **cota inferior** de $Y$ si y sólo si, $\forall~y\in Y$, $x\preceq y$. 🐦 #Definición > [!TCDefinición] $~$ Supremo e Ínfimo de un Subconjunto en un COPO > > Sean $(X,\preceq)$ un [[Conjunto Parcialmente Ordenado|COPO]], $Y\subseteq X$ y $x\in X$. > > Diremos que: > > - $x$ es un **ínfimo** de $Y$ si y sólo si, $x$ es [[Supremo e Ínfimo en un COPO|cota inferior]] de $Y$ y además, $\forall~z\in X$ tal que $z$ es [[Supremo e Ínfimo en un COPO|cota inferior]] de $Y$, $z\preceq x$. > $~$ > - $x$ es un **supremo** de $Y$ si y sólo si, $x$ es [[Supremo e Ínfimo en un COPO|cota superior]] de $Y$ y además, $\forall~z\in X$ tal que $z$ es [[Supremo e Ínfimo en un COPO|cota superior]] de $Y$, $x\preceq z$. Se comprueba que si $\exists~x\in X$ [[Supremo e Ínfimo en un COPO|supremo]] o [[Supremo e Ínfimo en un COPO|ínfimo]] de $Y$, entonces $x$ es único. 🐦 #Notación > [!TCNotación] $~$ Notación de Supremo e Ínfimo > > Sean $(X,\preceq)$ un [[Conjunto Parcialmente Ordenado|COPO]] y $Y\subseteq X$ tal que $\exists~x\in X$ [[Supremo e Ínfimo en un COPO|supremo]] de $Y$ y $\exists~y\in X$ [[Retícula|ínfimo]] de $Y$. > > Notaremos: > $\sup(Y):=\sup_{(X,~\preceq)}(Y):=x~~~~\wedge~~~~\inf(Y):=\inf_{(X, ~\preceq)}(Y):=y$ --- #### <font style="color:#8a1313"> Links: </font> [[Conjunto Parcialmente Ordenado|COPO]] ---