Conjunto Finito e Infinito - 🪴 Math Digital Garden

# $\color{ffffff}\colorbox{#700000}{- Conjuntos Finitos e Infinitos -}$ --- 🐦 #Definición > [!TCDefinición] $~$ Conjunto Finito e Infinito > > Sea $A$ un [[conjunto]] y consideremos a $\mathscr{P}(A)$ con el [[Conjunto Parcialmente Ordenado|orden parcial]] determinado por $\subseteq$. > > Decimos que $A$ es **finito** si y sólo si, $\forall~\mathscr{C}\subseteq \mathscr{P}(A)\setminus\{\varnothing\}$ [[cadena]], $\exists~C\in\mathscr{C}:$ $\forall~C'\in \mathscr{C}, C'\subseteq C$. > > Además, decimos que $A$ es **infinito** si $A$ no es **finito**. Dicho de otro modo, $A$ es [[Conjunto Finito e Infinito|finito]] si toda [[cadena]] no vacía de $\mathscr{P}(A)$ tiene [[máximo]]. 🐦 #Proposición > [!TCProposición] $~$ Equivalencia de Finitud Mediante Cardinalidad > > Sean $A$ y $B$ [[Conjunto|conjuntos]] tales que $|A|=|B|$. > > Entonces, $A$ es [[Conjunto Finito e Infinito|finito]] si y sólo si $B$ es [[Conjunto Finito e Infinito|finito]]. --- ###### Demostración: $\Longrightarrow /$ Supongamos que $A$ es [[Conjunto Finito e Infinito|finito]] y sea $\mathscr{C}\subseteq\mathscr{P}(B)\setminus\{\varnothing\}$ una [[cadena]]. Como $|A|=|B|$, $\exists~f:A\to B$ una [[Función|función]] [[biyectiva]]. Veamos que, $\mathscr{C}':=\{f^{-1}[C]\mid C\in\mathscr{C} \}$ es una [[cadena]] no vacía de $\mathscr{P}(A)$. Basta verificar que $\subseteq$ es un [[Conj. Totalmente Ordenado|orden total]] en $\mathscr{C}'$. Sean $B,B'\in\mathscr{C}'$, naturalmente $\exists~C,C'\in\mathscr{C}:B=f^{-1}[C]$ y $B'=f^{-1}[C']$. Dado que $\mathscr{C}$ es una [[cadena]] de $\mathscr{P}(B)$, $C\subseteq C'$ o bien $C'\subseteq C$. Así por [[propiedades de la imagen inversa]], debe ocurrir que $B\subseteq B'$ o $B'\subseteq B$. Ahora bien, dado que $A$ es [[Conjunto Finito e Infinito|finito]] $\exists~M\in \mathscr{C}':\forall~N\in \mathscr{C}', N\subseteq M$. De nuevo $\exists~ E\in \mathscr{C}:M=f^{-1}[E]$. Usando que $f$ es [[biyectiva]], $f[M]=f[f^{-1}[E]]=E$. Notemos que $E$ es el [[Máximo|máximo]] de $\mathscr{C}$. En efecto, dado $C\in \mathscr{C}$, $f^{-1}[C]\in \mathscr{C}'$. Así, $f^{-1}[C]\subseteq M=f^{-1}[E]~~~\therefore~~~C\subseteq f[M]=E$ Concluimos entonces que $B$ es [[Conjunto Finito e Infinito|finito]]. $\Longleftarrow /$ Análoga a la anterior, es suficiente intercambiar $f$ por $f^{-1}$. $~~\square$ --- #### Links: ---