# $\color{ffffff}\colorbox{#700000}{- Axiomas de Zermelo-Fraenkel -}$ --- 🐦 #Axiomas > [!TCAxioma] $~$ Axiomas de Zermelo-Fraenkel > > La siguiente lista de [[axiomas]] esta concebido para formular la [[🐦 Teoría de Conjuntos|teoría de conjuntos]]. Estos fueron propuestos por **Ernst Zermelo** y **Adolf Fraenkel**. > > $i)$ *(Axioma de Extensionalidad)* > > Si $X$ y $Y$ son [[Conjunto|conjuntos]] con los mismos elementos, entonces $X=Y$. > > $\forall~X~\forall~Y~[~\forall~z~(z\in X\iff z\in Y)\Rightarrow X=Y]$ > $ii)$ *(Axioma del Par)* > > Si $X$ y $Y$ son [[Conjunto|conjuntos]], existe un [[Conjunto|conjunto]] $\mathscr{Z}$ tal que $\mathscr{Z}=\{X,Y\}$. > > $\forall~X~\forall~Y~\exists~\mathscr{Z}~[~(X\in \mathscr{Z})\wedge(Y\in \mathscr{Z})~]$ > $iii)$ *(Axioma Esquema de Especificación)* > > Si $\varphi$ es una [[fórmula]] en [[lenguaje de primer orden]] con una [[variable libre]], entonces para cualquier [[Conjunto|conjunto]] $X$, existe un [[Conjunto|conjunto]] $Y$ cuyos elementos son aquellos de $X$ que satisfacen $\varphi$. > > $\forall~X~\exists~Y~[~\forall~x~(x\in Y\iff (x\in X)~\wedge~\varphi(x)~)~]$ > $iv)$ *(Axioma de la Unión)* > > Si $\mathscr{F}$ es un [[Conjunto|conjunto]], existe $Y$ un [[Conjunto|conjunto]] que contiene a todos los elementos de cada elemento de $\mathscr{F}$, es decir $\cup ~\mathscr{F}=Y$. > > $\forall~\mathscr{F}~\exists~Y~\forall~X~\forall~x~[(x\in X~\wedge~X\in \mathscr{F})\Rightarrow x\in Y]$ > $v)$ *(Axioma del Conjunto Potencia)* > > Si $X$ es un [[Conjunto|conjunto]], existe un [[Conjunto|conjunto]] $\mathscr{Y}$ tal que $\mathscr{Y}=\mathscr{P}(X)$. > > $\forall~X~\exists~\mathscr{Y}~\forall~Z~[Z\subseteq X \Rightarrow Z\in \mathscr{Y}]$ > $vi)$ *(Axioma de Infinitud)* > > Existe un [[Conjunto|conjunto]] $X$ de elementos **infinitos**, construido de modo que $\varnothing\in X$ y si $Y\in X$, $Y\cup \{Y\}\in X$. Denotando $S(Y):=Y\cup\{Y\}$, > > $\exists~X~[\varnothing\in X~\wedge(\forall~Y(Y\in X\Rightarrow S(Y)\in X))]$ > $vii)$ *(Axioma Esquema de Reemplazo)* > > Si $\varphi$ es una [[fórmula]] con al menos dos [[variable libre|variables libres]], tal que para cualquier elemento de un [[Conjunto|conjunto]] $X$, existe un [[Conjunto|conjunto]] $Y$ tal que $Y=\{y\mid \varphi(x,y)\}$, entonces existe una [[Función|función]] $f:X\to Y$ tal que $f(x)=y$. > > $\forall~X~[~\forall~x~(x\in X\Rightarrow \exists~!~y~(\varphi(x,y)))$$\Rightarrow~\exists~Y~(\forall~x~(x\in X\Rightarrow \exists~y~(~y \in Y~\wedge~\varphi(x,y))~)~]$ > $viii)$ *(Axioma de Regularidad)* > > Si $X$ es un [[Conjunto|conjunto]] no vacío, existe $Y\in X$ de modo que $X\cap Y=\varnothing$. > $\forall~X~(X\neq \varnothing\Rightarrow \exists~Y~(Y\in X~\wedge Y\cap X=\varnothing))$ > > $ix)$ *(Axioma de Elección)* > > Si $X$ es un [[Conjunto|conjunto]], existe una [[Función|función]] que elige un elemento de cada [[Conjunto|conjunto]] no vacío en $X$. > $\forall~X~\exists~f:X\to \cup~X~[~\forall~x~(x\in X~\wedge x\neq \varnothing\Rightarrow f(x)\in x)]$ > La teoría con los primeros ocho [[axiomas]] es llamada la **teoría de conjuntos axiomática de Zermelo-Fraenkel (ZF)**. **ZFC** denota tal teoría junto con el [[Axiomas de Zermelo-Fraenkel|axioma de elección]]. --- #### <font style="color:#8a1313"> Links: </font> ---