# $\color{ffffff}\colorbox{#52A488}{- Longitud de Arco de una Curva -}$ --- Dada una [[Curva Diferenciable Parametrizada|curva]] [[Curva Diferenciable Parametrizada Regular|regular]], pretendemos determinar la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de su [[Curva Diferenciable Parametrizada|traza]] en cualquier [[intervalo]] contenido en el [[dominio]] de dicha [[Curva Diferenciable Parametrizada|curva]]. La función que en cualquier [[Curva Diferenciable Parametrizada|parámetro]] nos arroja la distancia recorrida hasta este punto, sera llamada la **longitud de arco**. Nuestro objetivo es [[Reparametrización de una Curva Diferenciable Parametrizada|reparametrizar]] nuestras [[Curva Diferenciable Parametrizada Regular|curvas regulares]] con la **longitud de arco** a fin de garantizar ciertas propiedades importantes. De momento la presentamos inmediatamente como definición, pero es claramente una acertada como veremos a continuación gracias al concepto de [[Integral|integral]]. 🐚 #Definición > [!Gddefinición] $~$ Longitud de Arco de una Curva Regular > > Sean $\alpha: I\to \mathbb{R}^{3}$ una [[Curva Diferenciable Parametrizada|curva]] [[Curva Diferenciable Parametrizada Regular|regular]], $t_{0}\in I$ y $(a,~b):=I$. > > Consideremos la [[Función|función]] $s:(t_{0}, b)\to \mathbb{R}$ tal que $\forall ~t\in (t_{0}, ~b),$ > > $s(t)=\int_{t_0}^{t}\lVert\alpha'(\lambda) \rVert~d\lambda$ > Definimos la **longitud de arco** de $\alpha$ desde $t_{0}$ como $s(t)$. Además, a la función $s$ le llamamos **longitud de arco (LA) ** de $\alpha$. > ##### <font style="color:mediumaquamarine"> Observaciones.</font> $i)$ *Derivada de la Función Longitud de Arco* Vamos a encontrar una expresión para la derivada de la [[Longitud de Arco de una Curva Regular|longitud de arco]] de una [[Curva Diferenciable Parametrizada|curva]] [[ET de Hausdorff Regular|regular]] que involucre al [[Vector Tangente de una Curva|vector tangente]]. Sea $t\in (t_{0},~b)$. Naturalmente, $\mathscr{t}$ es [[🧠 Cerebro Matemático/📐 Matemáticas/⚪ Cálculo Dif. e Int/Función Continua Puntualmente|continua]] en $t$ puesto que $\alpha \in C^{\infty}$ y $h:=\lVert ~\rVert: \mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}$ es [[🧠 Cerebro Matemático/📐 Matemáticas/⚪ Cálculo Dif. e Int/Función Continua Puntualmente|continua]] en $\mathscr{t}(t)$. Así, como la [[Continuidad Puntual de Operaciones entre Funciones|la composición de continuas es continua]], $h\circ \mathscr{t}$ es [[🧠 Cerebro Matemático/📐 Matemáticas/⚪ Cálculo Dif. e Int/2. Funciones de Rn en Rm/Función Continua Puntualmente|continua]] en $t$. Ahora podemos invocar el [[Teorema Fundamental del Cálculo I]] y obtener que $s$ es [[diferenciable]] en $t$ y por lo tanto: $\forall~ t\in (t_{0},~ b),~\frac{ds}{dt}(t)=\lVert \alpha'(t) \rVert=\lVert \mathscr{t}(t) \rVert$ $ii)$ *¿De que Sirve que la Curva sea Regular?* Si $\exists~t_{1}\in (t_{0},~b)$ tal que $\alpha$ no es [[Curva Diferenciable Parametrizada Regular|regular]] en $t_{1}$, entonces $\mathscr{t}(t_{1})=\overline{0}$ y por tanto $s'(t_{1})=0$. Esto quiere decir que $s$ no es [[estrictamente creciente]] y el concepto de medir la longitud recorrida en la [[Curva Diferenciable Parametrizada|curva]] pierde sentido. En dos [[Curva Diferenciable Parametrizada|parámetros]] disntintos, la medida de la longitud coincidiria y esa no sería una buena forma de medir. $iii)$ *Velocidad Unitaría si y sólo si el Parámetro es la Longitud de Arco* Supongamos que $\exists~t\in (t_{0}, b):s(t)=t-t_{0}$. Es decir, el [[Curva Diferenciable Parametrizada|parámetro]] ya es la [[Longitud de Arco de una Curva Regular|longitud de arco]] de $\alpha$ desde $t_{0}$. En ese caso y usando la [[diferenciable|derivada]] anterior, $1=\frac{ds}{dt}(t)=\lVert \mathscr{t}(t) \rVert$ Y obtenemos que el [[Vector Tangente de una Curva|vector velocidad]] de la curva es [[vectores unitarios|unitario]]. Para el regreso, si $\lVert \mathscr{t}(t)\rVert \equiv 1$ entonces $\forall ~t\in (t_{0},~b),$ $s(t)=\int_{t_{0}}^{t}d\lambda=t-t_{0}$ Por lo que, el [[Vector Tangente de una Curva|vector tangente]] en todo punto de $\alpha$ es [[vectores unitarios|unitario]] si y sólo si, el [[🧠 Cerebro Matemático/📐 Matemáticas/🐚 Geo. Diferencial/1. Curvas en R3/Curva Diferenciable Parametrizada|parámetro]] de $\alpha$ es la [[Longitud de Arco de una Curva Regular|longitud de arco]] en dicho punto. ^37e92a $iv)$ *La Longitud de Arco es un Difeomorfismo* Veamos que $s:(t_{0},~b)\to s[I]$ es un [[Difeomorfismo de Rn en Rn|difeomorfismo]] a fin de [[Reparametrización de una Curva Diferenciable Parametrizada|reparametrizar]] a $\alpha$ con su [[Longitud de Arco de una Curva Regular|longitud de arco]]. En $i)$ comprobamos indirectamente que $s$ es [[diferenciable]] en $(t_{0},~b)$ y es por tanto [[🧠 Cerebro Matemático/📐 Matemáticas/⚪ Cálculo Dif. e Int/2. Funciones de Rn en Rm/Función Continua Puntualmente|continua]] en $(t_{0},~ b)$. Por otro lado, $s[I]=\text{Cod}(\alpha)$. A fin de verificar que $s$ es [[biyectiva]], resta ver que dados $t_{1},t_{2}\in (t_{0},~b):s(t_{1})=s(t_{2})$, se tiene que tiene que $t_{1}=t_{2}$. Claramente por [[propiedades de la integral]], $0=s(t_{2})-s(t_{1})=\int_{t_{0}}^{t_{2}}\lVert\alpha'(\lambda) \rVert ~d\lambda - \int_{t_{0}}^{t_{1}}\lVert\alpha'(\lambda) \rVert ~d\lambda=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \lVert\alpha'(\lambda) \rVert ~d\lambda$ Sin embargo, $\alpha$ es [[Curva Diferenciable Parametrizada Regular|regular]] y por tanto es necesario que $t_{1}=t_{2}$. Como $s\in C^{1}$ en $(t_{0},~b)$ y $\forall t\in (t_{0},~b)$, $s'(t)\neq 0$, estamos en condiciones de invocar el [[Teorema de la Función Inversa en Rn|teorema de la función inversa]]. Por lo tanto, $\exists~U\subseteq I$ [[Espacio Topológico|abierto]] tal que $s^{-1}\in C^{1}$ en $s[U]$. Es decir, $s^{-1}$ es [[diferenciable]] en $s[U]$. Hemos por tanto conseguido probar que $s$ es un [[Difeomorfismo de Rn en Rn|difeomorfismo]]. --- ### <font style="color:mediumaquamarine"> Links: </font> [[imagen directa]] | [[Curva Diferenciable Parametrizada Regular|regular]] | [[Función|función]] | [[Relación|codominio]] ---