# $\color{ffffff}\colorbox{#52A488}{- Orientación Negativa de una CR -}$ --- Una forma diferente de describir la [[traza]] de una [[Curva Diferenciable Parametrizada|curva]] además de la [[Reparametrización de una Curva Diferenciable Parametrizada|reparametrización]], es cambiando el sentido en que se "recorre" la curva como definiremos en seguida. 🐚 #Definición > [!Gddefinición] $~$ Orientación Negativa de una Curva Regular PLA en $\mathbb{R}^{3}$ > > Sean $\alpha: (a,~b)\to \mathbb{R}^{3}$ y $\beta: (-b, -a)\to \mathbb{R}^{3}$ [[Curva Regular Reparametrizada por Longitud de Arco|curvas regulares PLA]]. > > Definimos la **orientación negativa** de $\alpha$ como la [[Curva Diferenciable Parametrizada|curva]] $\beta$ si y sólo si, $\forall s\in (-b,-a)$, > > $\beta(s):=\alpha(-s)$ > > En este caso, diremos además que $\alpha$ y $\beta$ **difieren por un cambio de orientación**. Intuitivamente, apreciamos el cambio en la **orientación** puesto que $\beta$ comienza describiendo los puntos de $\text{tr}(\alpha)$, quienes resultan ser las descripciones finales de $\alpha$. ##### <font style="color:mediumaquamarine"> Observación.</font> $i)$ *Derivada de la Orientación Negativa* Denotemos al [[Curva Diferenciable Parametrizada|parámetro]] de $\beta$ como $\tau$, entonces $\tau=-t$, con $t$ el [[Curva Diferenciable Parametrizada|parámetro]] de $\alpha$. Notemos que obtenemos al [[diferenciable|derivar]] la [[Cambio de Orientación de una Curva Regular PLA|orientación negativa]] de $\alpha$ que es $\beta$ respecto de $t$. Usando la [[regla de la cadena]] tenemos que, $\frac{d\beta}{dt}(\tau(t))=\frac{d\beta}{d\tau}(\tau)\frac{d\tau}{dt}(t)= -\frac{d\beta}{d\tau}(\tau)=-\frac{d\alpha}{d\tau}(t)$ O bien, $\frac{d\beta}{dt}(\tau)=-\frac{d\alpha}{d\tau}(t)$ Otra forma de relacionar sus [[diferenciable|derivadas]] es como sigue. De nuevo usaremos la [[regla de la cadena]], $\frac{d\beta}{d\tau}(\tau)=\frac{d\alpha}{d\tau}(t(\tau))=\frac{d\alpha}{dt}(t)\frac{dt}{d\tau}=-\frac{d\alpha}{dr}(t)$ Es decir, $\beta'(\tau)=\alpha'(t)$. --- ### <font style="color:mediumaquamarine"> Links: </font> [[Curva Regular Reparametrizada por Longitud de Arco|curvas regulares PLA]] ---