# $\color{ffffff}\colorbox{#db7093}{- $k$-Simplejos Geométricos -}$ --- 🍩 #Definición > [!TDefinición] $~$ Simplejo Geométrico de Dimensión $k$ > > Sea $L$ un [[Espacio Vectorial|EV]] sobre $\mathbb{R}$ y $\sigma\subseteq L$. > > Diremos que $\sigma$ es un $k$**-simplejo geométrico** o un **simplejo geométrico de dimensión** $k$, si y sólo si, $\exists~\{a_{i}\mid 0\leq i\leq k\}\subseteq L$ [[Conjunto Afínmente Independiente|afínmente independiente]] tal que, > > $\sigma=\langle a_{0},...,a_{k}\rangle:=\text{Conv}(\{a_{i}\mid 0\leq i \leq k\})$ > > En este caso, definimos y denotamos el **conjunto de vértices** de $\sigma$ como: > > $\tau_{\sigma}:=\{a_{i}\mid 0\leq i \leq k\}$ > > Además, notaremos, $\text{dim}(\sigma):=k$ ##### <font style="color:#f59fac"> Observación.</font> $i)$ *Forma Explicita de* $\sigma$ Recordemos que, si $\sigma$ es un $k$[[Simplejo Geométrico de Dimensión k|-simplejo geométrico]] cuyo [[Simplejo Geométrico de Dimensión k|conjunto de vértices]] es $A:=\{a_{i}\mid 0\leq i\leq k\}$, $\sigma=\text{Conv}(A)=\text{Conv}_{\infty}(A)=\text{Conv}_{k}(A)$ Esto es, $\sigma= \Bigl\{~\sum_{i=0}^{k}\lambda_{i}a_{i}~\Big| ~\{\lambda_{i}\mid 0\leq i\leq k\}\subseteq [0,1]:\sum_{i=0}^{k}\lambda_{i}=1\Bigr\}$ ##### <font style="color:#f59fac"> Ejemplo.</font> $i)$ $n$*-Simplejo Geométrico Estándar* Definimos y denotamos al $n$**-simplejo geométrico estándar** como: $\triangle^{n}:=\langle e_{1},..., e_{n+1}\rangle\subseteq \mathbb{R}^{n+1}$ $~$ ![[🧠 Cerebro Matemático/📐 Matemáticas/🍩 Topología General/Topología de Dimensión Infinita/Anexos/image (1).png]] $~$ Es decir, $\triangle^{n}=\Bigl\{(\lambda_{1},...,\lambda_{n+1})\in \mathbb{R}^{n+1}~\Big|~\{\lambda_{i}\mid i\leq n+1\}\subseteq [0,1]:\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_{i}=1 \Bigr\}$ Otra forma de definir al $n$[[Simplejo Geométrico de Dimensión k|-simplejo geométrico estándar]] como sigue. Si $e_{0}:=\overline{0}\in \mathbb{R}^{n+1}$, entonces: $\triangle^{n}=\langle e_{0},...,e_{n}\rangle\subseteq \mathbb{R}^{n+1}$ ![[🧠 Cerebro Matemático/📐 Matemáticas/🍩 Topología General/Topología de Dimensión Infinita/Anexos/image (2).png]] Así, $\triangle^{n}=\Bigl\{(0,\lambda_{1},...,\lambda_{n+1})\in \mathbb{R}^{n+1}~\Big|~\{\lambda_{i}\mid i\leq n\}\subseteq [0,1]:\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}=1 \Bigr\}$ Evidentemente, $\triangle^{n}$ es [[Conjunto Abierto y Conjunto Cerrado|cerrado]] y [[Conjunto Acotado|acotado]]. Luego por el [[Teorema de Heine-Borel]], $\triangle^{n}$ es [[Conjunto Compacto|compacto]]. --- #### <font style="color:#f59fac"> Links:</font> [[bases canónicas|base canónica]] | [[Conjunto Afínmente Independiente|afínmente independiente]] | [[Espacio Vectorial|EV]] | [[Casco Convexo y Combinación Convexa|casco convexo]] ---