# $\color{ffffff}\colorbox{#db7093}{- Conjunto Denso en $\mathscr{H}(\mathcal{Q})$ -}$ --- 🍩 #Lema > [!TLema] $~$ Conjunto Denso en $\mathscr{H}(\mathcal{Q})$ > > Sean $(x_{m})\in \mathcal{Q}$ y $n\in \mathbb{N}$. Definamos: > > $\mathcal{U}(n,(x_{m})):=\{h\in \mathscr{H}(\mathcal{Q})\mid h_{n}((x_{m}))\in (-1,1)\}$ > Aquí, $h\equiv (h_{n})_{n~\in~\mathbb{N}}$ de modo que $\forall~n\in \mathbb{N}$, $h_{n}=\pi_{n}\circ h$. > > Entonces, $\mathcal{U}(n,(x_{m}))\in \mathscr{T}_{\mathscr{H}(\mathcal{Q})}$ y $\mathcal{U}(n,(x_{m}))$ es [[Denso en ET|denso]] en $\mathscr{H}(\mathcal{Q})$. --- ##### <font style="color:#f59fac"> Demostración: </font> No dejemos de notar que $h_{n}:\mathcal{Q}\to [-1,1]$ y $\pi_{n}:\mathcal{Q}\to[-1,1]$. --- 🍩 #Corolario > [!TCorolario] $~$ Homeomorfismo de $\mathcal{Q}$ que va a $\mathfrak{S}$ > > Sean $(x_{n})\in \mathcal{Q}$ y $\varepsilon>0$. > > Entonces, $\exists~\varphi\in \mathscr{H}(\mathcal{Q}):d_{\sup}(\varphi, \text{Id}_{\mathcal{Q}})<\varepsilon$ y $\varphi(x)\in \mathfrak{S}$. --- ##### <font style="color:#f59fac"> Demostración: </font> --- #### <font style="color:#f59fac"> Links:</font> [[El Cubo de Hilbert]] | [[Conjunto Denso en ET]] | [[ET's Homeomorfos|homeomorfismo]] ---