# $\color{ffffff}\colorbox{#db7093}{- Teo. de Lusternik-Schnirelmann-}$ --- 🍩 #Corolario > [!TCorolario] $~$ Consecuencias del Teorema de Borsuk-Ulam > > Se tiene lo siguiente: > > - $\forall~A\subseteq \mathbb{R}^{2}$, $A\ncong \mathbb{S}^{2}$. > $~$ > - $\forall~f:\mathbb{S}^{2}\to \mathbb{R}^{2}$ [[Función|función]] [[Función Continua en ET's|continua]] e [[Teorema de Borsuk-Ulam|impar]], $\exists~x\in \mathbb{S}^{2}$ tal que $f(x)=0$. > $~$ > - $\forall~n\in \mathbb{N}:n>2$, $\forall~f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{2}$ [[Función|función]] [[Función Continua en ET's|continua]], $f$ no es es [[biyectiva]]. > $~$ > - $\forall~n\in \mathbb{N}:n>2$, $\mathbb{R}^{n}\ncong\mathbb{R}^{2}$. --- ##### <font style="color:#f59fac"> Demostración: </font> --- Es posible demostrar que, $\forall~n,m\in \mathbb{N}:n\neq m$, $\mathbb{R}^{n}\ncong\mathbb{R}^{m}$. La demostración similar a la anterior, basta usar el [[Teorema de Borsuk-Ulam|teorema de Borsuk-Ulam]] para $n\geq 3$. 🍩 #Corolario > [!TCorolario] $~$ Teorema de Lusternik-Schnirelmann > > Dados $\{A_{1},A_{2}, A_{3}\}\subseteq \mathscr{C}_{\mathbb{S}^{2}}$ tales que $\mathbb{S}^{2}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}$. Entonces, $\exists~i\in \{1,2,3\}$, $\exists~x\in A_{i}$ tal que $-x\in A_{i}$. --- ##### <font style="color:#f59fac"> Demostración: </font> --- #### <font style="color:#f59fac"> Links:</font> [[ET's Homeomorfos|homeomorfo]] | [[Función]] | [[Función Continua en ET's|continua]] | [[biyectiva]] ---