# $\color{ffffff}\colorbox{#db7093}{- Teo. de Levantamiento de Funciones -}$ --- 🍩 #Teorema > [!Tteorema] $~$ Homomorfismo Inducido de Aplicación Cubriente > > Sean $(\tilde{X}, \tilde{\mathscr{T}})$, $(X, \mathscr{T})$ [[Espacio Topológico|ET's]], $p:\tilde{X}\to X$ una [[Aplicación Cubriente|aplicación cubriente]], $\tilde{x}\in \tilde{X}$ y $x:=p(\tilde{x})$. > > Entonces, $p_{*}:\pi_{1}(\tilde{X}, \tilde{x})\to \pi_{1}(X, x)$ es un [[R-Epimorfismo y R-Monomorfismo entre R-Módulos|monomorfismo]], Más aún, > $\text{Im}(p_{*})=\{[f]\in \pi_{1}(X,x)\mid \tilde{f}\in\Omega(\tilde{X}, \tilde{x}) \}\leq \pi_{1}(X,x)$ --- ##### <font style="color:#f59fac"> Demostración: </font> --- En general, no toda [[Función|función]] [[Función Continua en ET's|continua]] admite un [[Levantamiento de una Función|levantamiento]] a su [[Aplicación Cubriente|espacio cubriente]]. Por ejemplo, considera las [[Función|funciones]] $\text{Id}_{\mathbb{S}^{1}}:\mathbb{S}^{1}\to \mathbb{S}^{1}$ y $p:\mathbb{R}\to \mathbb{S}^{1}$ tal que $p(t)=e^{2\pi it}$. Se obtiene una contracción si suponemos que $\exists~\varphi: \mathbb{R}\to \mathbb{S}^{1}$ una [[Función|función]] [[Función Continua en ET's|continua]] tal que $\text{Id}_{\mathbb{S}^{1}}\circ \varphi=p$. 🍩 #Teorema > [!Tteorema] $~$ Levantamiento de Funciones > > Sean $(\tilde{X}, \tilde{\mathscr{T}})$ un [[Espacio Topológico|ET]], $(X, \mathscr{T})$ un [[Espacio Topológico|ET]] [[ET Localmente Conexo por Trayectorias|localmente conexo por trayectorias]], $(A, \mathscr{A})$ un [[Espacio Topológico|ET]] [[ET Conexo|conexo]] y [[ET Localmente Conexo por Trayectorias|localmente conexo por trayectorias]]. Sean $p:\tilde{X}\to X$ una [[Aplicación Cubriente|aplicación cubriente]] y $f:A\to X$ una [[Función|función]] [[Función Continua en ET's|continua]]. > > Si $a\in A$, $x\in X$ y $\tilde{x}\in \tilde{X}$ son tales que $f(a)=x=p(\tilde{x})$, entonces $\exists~\tilde{f}:A\to \tilde{X}$ [[Levantamiento de una Función|levantamiento]] de $f$ tal que $\tilde{f}(a)=\tilde{x}$ si y sólo si: > $f_{*}[\pi_{1}(A,a)]\subseteq p_{*}[\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x})]$ > En tal caso, $\tilde{f}$ es único.tikz \usepackage{tikz-cd} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath} \begin{document} \begin{tikzcd}[ ,every arrow/.append style={maps to} ,every label/.append style={font=\normalsize}, sep=huge,] & {\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x} )} \arrow[d, "p_{*}"] \\ {\pi_{1}(A,a)} \arrow[r, "f_{*}"'] \arrow[ru, "\tilde{f}_{*}"] & {\pi_{1}(X,x)} \end{tikzcd} \end{document} ``` --- ##### <font style="color:#f59fac"> Demostración: </font> --- #### <font style="color:#f59fac"> Links:</font> [[Levantamiento de una Función]] | [[Invarianza Topológica del Grupo Fundamental|inducida]] | [[Aplicación Cubriente|aplicaciones cubrientes]] | [[R-Epimorfismo y R-Monomorfismo entre R-Módulos|monomorfismo]] | [[ET Localmente Conexo por Trayectorias|localmente conexo por trayectorias]] | [[ET Conexo|conexo]] ---