ET de Hausdorff - 🪴 Math Digital Garden

#MiniMOC # $\color{ffffff}\colorbox{#db7093}{- Axioma $T_{2}$ -}$ --- 🍩 #Definición > [!TDefinición] $\phantom{.}$ Espacio Topológico $T_{2}$ o de Hausdorff > > Sea $(X, \mathscr{T})$ un [[Espacio Topológico|espacio topológico]]. > > Diremos que $(X, \mathscr{T})$ es $T_{2}$ o de **Hausdorff** si y solo si, $\forall~x, y\in X: x\neq y$, $\exists \phantom{.} U, V\in \mathscr{T}: x\in U, \phantom{.}y\in V$ y $U\cap V=\varnothing$. ^7dadea 🍩 #Ejemplo > [!Tejemplo] $\phantom{.}$ Los Espacios Métricos son de Hausdorff > > Entonces $(X, \mathscr{T}_d)$ es de [[ET de Hausdorff|Hausdorff]]. --- ##### Prueba: Sean $x, y\in X:x\neq y$. Dado que $d(x, y)>0$, llamemos $\displaystyle{\varepsilon:= \frac{d(x, y)}{2}>0}$. Tomando las [[Bola Abierta en un EM|bolas abiertas]] en $X$, $U:=B(x, \varepsilon)$ y $V:=B(y, \varepsilon)$, tenemos que $U\in \mathscr{T}_{d}$ y $V\in \mathscr{T}_{d}$. Además, $x\in U$, $y\in V$ y $U\cap V=\varnothing$. Por lo tanto, $(X, \mathscr{T}_{d})$ es $T_{2}$ o de [[ET de Hausdorff|Hausdorff]]. $~~\square$ $ii)$ Dado $X$ [[Conjunto Finito e Infinito|infinito]], $(X, \mathscr{T}_{\text{cof}(X)})$ no es de [[ET de Hausdorff|Hausdorff]]. ---- ### $\S$ Resultados Basicos. ##### Cadenas de Implicaciones. Respecto a los demás axiomas de separación, $T_{2}$ se conecta de la siguiente forma: ![[Primer Cadena AS#^f04c8b]] Así mismo. ![[Primer Cadena AS Negada#^b41831]] Al introducir el siguiente eslabón que es el axioma $T_{3}$: ![[Segunda Cadena AS Negada#^c82a1e]] ##### Caracterizaciones. ![[Caracterizaciones de ET de Hausdorff#^d3f18b]] ![[Axiomas de Separación para el Producto Topológico#^dde633]] ##### Utilidades en Funciones Continuas. ![[Funciones Continuas con Contradominio T2#^31e291]] ##### Implicaciones. ![[Axiomas de Separación Hereditarios#^da7b60]] #### Links: [[Espacio Topológico|ET]] ---