Propiedades del Conjunto Derivado - 🪴 Math Digital Garden

# $\color{ffffff}\colorbox{#db7093}{- Propiedades del Conjunto Derivado -}$ --- Ofrecemos ahora algunas propiedades básicas del operador [[Derivado de un Conjunto en un ET|derivado]] y una caracterización de [[Subconjunto Cerrado en ET|cerrado]] usando tal concepto. 🍩 #Proposición > [!TProposición] $~$ Propiedades del Conjunto Derivado >Sea $(X, \mathscr{T})$ un [[Espacio Topológico|ET]] y $A,B\subseteq X$. > >Entonces, se tiene que: > >- $\text{der}(\varnothing)=\varnothing$. $~$ >- Si $A\subseteq B$, entonces $\text{der}(A)\subseteq \text{der}(B)$. $~$ >- $\forall~x\in \text{der}(A)$, $x\in \text{der}(A\setminus \{x\})$. $~$ >- $\text{der}(A\cup B)=\text{der}(A)\cup \text{der}(B)$. --- ##### Demostración: $i)$ Supongamos que $\exists~x\in \text{der}(\varnothing)$, entonces $\forall~V\in \mathscr{N}_{x}$, $\varnothing=(\varnothing\cap V)\setminus \{x\}\neq \varnothing~~!!$ Así que necesariamente, $\text{der}(\varnothing)= \varnothing$. $ii)$ Tomemos $x\in \text{der}(A)$, entonces, $\forall~V\in \mathscr{N}_{x}$, $(A\cap V)\setminus \{x\}\neq \varnothing$ y puesto que $A\subseteq B$, entonces $\forall~V\in \mathscr{N}_{x}$, $(A\cap V)\setminus \{x\}\subseteq (B\cap V)\setminus \{x\}\neq \varnothing.$ Es decir, $x\in \text{der}(B)$. $iii)$ De inmediato, observa que si $x\in \text{der}(A)$, entonces $\forall~V\in \mathscr{N}_{x}$, $((A\setminus \{x\})\cap V)\setminus \{x\}=(A\cap V)\setminus \{x\}\neq \varnothing.$ y por tanto $x\in \text{der}(A\setminus \{x\})$. $iv)$ Como es evidente, $A\subseteq A\cup B$ y $B\subseteq A\cup B$, por tanto gracias a $ii)$, $\text{der}(A)\cup \text{der}(B)\subseteq \text{der}(A\cup B).$ Por otro lado, si $x\notin \text{der}(A)\cup \text{der}(B)$ entonces $\exists~V,W\in \mathscr{N}_{x}$ tales que, $(A\cap V)\setminus \{x\}=\varnothing~~~\wedge~~~(B\cap W)\setminus \{x\}=\varnothing.$ En consecuencia, por [[Propiedades de la Intersección y la Unión|propiedades de la intersección y la unión]], $((A\cup B)\cap (V\cap W))\setminus \{x\}=\left(((A\cap (V\cap W))\cup (B\cap(V\cap W))\right)\setminus\{x\}$ $=((A\cap V\cap W)\setminus \{x\})\cup ((B\cap V\cap W))\setminus \{x\}=\varnothing.$ Y como $V\cap W\in \mathscr{N}_{x}$, $x\notin \text{der}(A\cup B)$ y por tanto $\text{der}(A\cup B)=\text{der}(A)\cup \text{der}(B)$. $~~\square$ --- 🍩 #Proposición > [!TProposición] $~$ Caracterización de Cerrado con Derivado > Sean $(X, \mathscr{T})$ un [[Espacio Topológico|ET]] y $E\subseteq X$. > >Entonces, $E\in \mathscr{C}_{(X, \mathscr{T})}$ si y sólo si $\text{der}(E)\subseteq E$. --- ##### Demostración: Veamos equivalentemente que $E\notin \mathscr{C}_{(X, \mathscr{T})}$ si y sólo si $\text{der}(E)\cap (X\setminus E)\neq \varnothing$. Si acaso $E\notin \mathscr{C}_{(X, \mathscr{T})}$ entonces $X\setminus E \notin \mathscr{T}$ y por lo tanto, de nuestra [[Vecindad en ET|caracterización de abiertos por vecindades]] sabemos que $\exists~x\in X\setminus E$ tal que $X\setminus E\notin \mathscr{N}_{x}$. Esto es, $\forall~U\in \mathscr{T}$ tal que $x\in U$, $U\cap E\neq \varnothing$ y por lo tanto $x\in \text{der}(E)\cap (X\setminus E)$. Inversamente si $\exists~x\in \text{der}(E)\setminus E$ entonces $\forall~V\in \mathscr{N}_{x}$, $(E\cap V)\setminus \{x\}\neq \varnothing$ o dicho de otra forma, $(X\setminus (X\setminus E))\cap V\neq \varnothing.$ Es decir, $X\setminus E\notin \mathscr{T}$ y por tanto $E\notin \mathscr{C}_{(X, \mathscr{T})}$. $~~\square$ --- #### Links: [[Espacio Topológico|ET]] ---