#🌲 # $\color{ffffff}\colorbox{#a3076c}{- Teorema de Cayley-Hamilton -}$ --- 🌸 #Teorema > [!ALTeorema] $~$ Teorema de Cayley-Hamilton > > Sean $V$ un [[Espacio Vectorial|EV]] sobre un [[Campo|campo]] $F$ tal que $\text{dim}(V)<\infty$ y $T\in \mathcal{L}(V)$. > > Entonces, $f_{T}(T)\equiv \overline{0}$. ^73fb12 --- ##### <font style="color:hotpink"> Demostración: </font> Queremos probar que $\forall~v\in V$, $f_{T}(T)(v)=\overline{0}$. Si $v=\overline{0}$ entonces debido a que $f_{T}(T)\in \mathcal{L}(V)$, $f_{T}(T)(v)=\overline{0}$. Tomemos entonces $v\in V\setminus \{\overline{0}\}$, y llamemos $k:=\text{dim}(Z(v,T))$. Por una [[Base de Subespacio T-Cíclico|propiedad de la base del subespacio cíclico]], sabemos que $\exists~\{\lambda_{i}\mid 0\leq i<k\}\subseteq F$ de modo que, $T^{k}(v)+\sum_{i=0}^{k-1}\lambda_{i}T^{i}(v)=\overline{0}.$ Y, recordando nuestra expresión del [[Base de Subespacio T-Cíclico|polinomio característico de la restricción]] $T_{W}$ con $W:=Z(v,T)$ alcanzamos que, $f_{T_{W}}(T)(v)=(-1)^{k}\left(T^{k}+\sum_{i=0}^{k-1}\lambda_{i}T^{i}\right)(v)=(-1)^{k}\left(T^{k}(v)+\sum_{i=0}^{k-1}\lambda_{i}T^{i}(v)\right)=\overline{0}.$ Como además $W$ es $T$[[Subespacio T-Invariante y T-Cíclico|-invariante]], $f_{T_{W}}$ es [[Divisor del Polinomio Característico|divisor del polinomio característico]] $f_{T}$, esto es, $\exists~h\in F[\lambda]$ tal que $f_{T}=hf_{T_{W}}$. Así que, aplicando nuestra [[Producto de Polinomios Asociados a Operador|fórmula del operador asociado a un producto de polinomios]], $f_{T}(T)(v)=\big(h(T)\circ f_{T_{W}}(T)\big)(v)=h(T)(f_{T_{W}}(T)(v))=h(T)(\overline{0})=\overline{0}$ que era lo esperado.<font style="color:hotpink"> $~~\square$ </font> --- #### <font style="color:hotpink"> Links: </font> [[Espacio Vectorial|EV]] | [[Polinomio Característico]] | [[Polinomio Mínimo|polinomio asociado a operador lineal]] ---