# $\color{ffffff}\colorbox{#a3076c}{- Convexo en un EV -}$ --- 🌸 #Definición > [!ALDefinición] $~$ Conjunto Convexo en un EV > > Sean $V$ un [[Espacio Vectorial|EV]] sobre $\mathbb{R}$ y $A\subseteq V$. > > Diremos que $A\subseteq V$ es **convexo** si y sólo si, $\forall~v,w\in A$, $\forall~\lambda, \mu\geq 0:\lambda+\mu =1$, $\lambda v+\mu w\in A$. > ^723034 ##### <font style="color:hotpink"> Observación. </font> $i)$ Alternativamente, $A$ es [[Subconjunto Convexo en un EV|convexo]] si y sólo si $\forall~v,w\in V$, $[v,w]:=\{tv+(1-t)w\mid t\in [0,1]\}\subseteq V$ $ii)$ Si $V$ es un [[Espacio Vectorial Normado|EVN]] y tomamos $v\in V$, $\rho\geq 0$, entonces $B(v, \rho)\cup X$ es [[Subconjunto Convexo en un EV|convexo]] con $X\subseteq \text{cl}(B(v,\rho))$. $ii)$ Si $\{A_{j}\mid j \in J\}\subseteq V$ es tal que $\forall~j\in J$, $A_{j}$ es [[Subconjunto Convexo en un EV|convexo]], entonces $\bigcap_{j~\in~J}A_{j}$ es [[Subconjunto Convexo en un EV|convexo]]. $iii)$ Dada $f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n}$ una [[función afín]] y $A\subseteq \mathbb{R}^{n}$ [[Subconjunto Convexo en un EV|convexo]], $f^{-1}[A]$ y $f[A]$ son [[Subconjunto Convexo en un EV|convexos]]. $iv)$ Dado $A, B\subseteq \mathbb{R}^{n}$ [[Subconjunto Convexo en un EV|convexos]] y $\lambda \in \mathbb{R}$, $A+\lambda B$ es [[Subconjunto Convexo en un EV|convexo]]. --- #### <font style="color:hotpink"> Links: </font> [[Espacio Vectorial|EV]] ---