# $\color{ffffff}\colorbox{#808080}{- Suc.s Coordenadas de Cauchy -}$ --- También podemos saber si una [[Sucesión en ℝn|sucesión]] es o no de [[🧠 Cerebro Matemático/📐 Matemáticas/⚪ Cálculo Dif. e Int/2. Funciones de Rn en Rm/Sucesión de Cauchy|Cauchy]] analizando que sucede con sus [[Sucesión en ℝn|sucesiones coordenadas]]. ⚪ #Proposición > [!CDProposición] $~$ Sucesiones Coordenadas de Cauchy > > Sea $(x_{k})$ una [[Sucesión en ℝn|sucesión]] en $\mathbb{R}^{n}$ tal que $x_{k}:=\left(x_{k}^{(1)}, \dots, x_{k}^{(n)}\right)$. > > La [[Sucesión en ℝn|sucesión]] $(x_{k})$ es de [[Sucesión de Cauchy|Cauchy]] si y sólo si $\forall i\leq n$, $(x_{k}^{(i)})$ es de [[Sucesión de Cauchy|Cauchy]]. ^d55de3 --- ##### <font style="color:#808080"> Demostración: </font> --- Recordemos que un resultado importante para las [[Sucesión en ℝ|sucesiones]] en $\mathbb{R}$ es que, una [[Caracterización de Sucesión Convergente|sucesión es convergente si y sólo si es de Cauchy]]. Este hecho y la proposición anterior nos permieten obtener el siguiente corolario para caracterizar la [[Sucesión Convergente en ℝn|convergencia]] en $\mathbb{R}^{n}$. > [!CDCorolario] $~$ Criterio de Cauchy para Sucesiones > > Sea $(x_{k})$ una [[Sucesión en ℝn|sucesión]] en $\mathbb{R}^{n}$. > > La sucesión $(x_{k})$ es [[Sucesión Convergente en ℝn|convergente]] si y sólo si $(x_{k})$ es de [[Sucesión de Cauchy|Cauchy]]. > > --- ### <font style="color:808080"> Links: </font> ---