#🌱 # $\color{ffffff}\colorbox{#016b32}{- El Teorema de Moivre y Algunas Leyendas -}$ --- 🟢 #Blog Resultado clásico al introducirnos en el estudio de los [[Número Complejo|números complejos]], el **teorema de Moivre** establece una fórmula muy simple para calcular potencias de números complejos usando su [[Número Complejo|forma polar]]. Amplifica además la interpretación geométrica de lo que significa multiplicar dos números complejos, que es naturalmente sumar los argumentos de cada uno de ellos. $r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))\cdot s(\cos(\beta)+i\sin(\beta))=rs(\cos(\theta+\beta)+i\sin(\theta+\beta))$ En el caso de nuestro resultado, elevar un complejo a una potencia es elevar su módulo y multiplicar el argumento por la potencia, es decir, realizar una **rotación** y **escalar** el módulo. Otro resultado que se obtiene de inmediato es una expresión para calcular las raíces de un número complejo; esto es, existen $n$ raíces $n$-ésimas distintas para cualquier complejo no cero. ![[Teorema de De Moivre#^9d6e61]] **¿Cuál es la Geometría del Asunto?** Si uno pretende calcular las raíces del uno o de la unidad, como se suele decir, el **teorema de Moivre** establece que los puntos inscritos en la circunferencia de radio $1$, cuyos argumentos dividen en partes iguales a los $360$ grados requeridos para dar una vuelta completa, son de hecho las raíces de $1$ buscadas. Lo que eso significa es que, si calculamos las raíces quintas de $1$, en el fondo estamos inscribiendo un **pentágono** en la circunferencia de radio 1, en donde cada vértice es una raíz. $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$![[image (26) 1.png|334]] No olviden que estamos trabajando en el [[Número Complejo|plano complejo]] (o plano de Argand) y, por tanto, tiene sentido pensar en dos dimensiones. Por ejemplo, las raíces de $1$ son $1$ y $-1$, las cuales no forma un polígono, pero es consistente con el teorema. Una representa un viaje de cero grados y otra de $180$ grados a lo largo de la circunferencia. **¿Quién fue De Moivre?** El teorema fue formulado y generalizado rigurosamente por **Euler**; sin embargo, su concepción, como su nombre bien lo indica, proviene de **Abraham de Moivre**, quien lo menciono a principios de los 1700 en su obra *"Miscellanea Analytica"*. De Moivre se dedicaba a hacer [[🔴 Geometría Analítica|geometría analítica]] y teoría de la probabilidad, ambas ramas en crecimiento por aquel entonces. Se dice que fue amigo del mismísimo **Newton** y de **Edmund Halley** (conocido por ser quien calculó la órbita de precisamente el cometa Halley, una piedrita en el espacio, vaya), y aunque fue miembro de la **Real Sociedad de Londres**, como es el caso de muchos matemáticos con ideas revolucionarias y enigmáticas, su trabajo no tuvo mucho reconocimiento que digamos. Siempre estuvo corto de dinero; en realidad, no se murió de hambre gracias al ajedrez y a sus trabajos esporádicos calculando probabilidades para apostadores y aseguradoras. Y tal vez piensen que es debido a que tampoco es para tanto su pequeño teorema, pero, si bien es cierto que es sencillo, en realidad es por esa razón que se volvió sumamente importante. ![[Fórmula de Euler#^9bfb73]] La fórmula permite calcular únicamente potencias enteras de números complejos; para exponentes reales y complejos usamos la célebre **fórmula de Euler**, que es una generalización mediante el uso de la **función exponencial**. Es de esta misma fórmula que se deduce, como un caso especial ($x=\pi$), la identidad de Euler, que todos los divulgadores aman debido a la forma tan "armoniosa" en la que combina a $\pi$, $e$ y el número $i$, además de, por supuesto, al uno y al cero. Y tal generalización es posible gracias al trabajo de De Moivre, quien fue un precursor directo de esa expresión. $e^{i\pi}+1=0$ Por supuesto, existen generalizaciones en otros conjuntos de números **hipercomplejos** como es el caso de los **cuaterniones**, aunque siempre que uno decide agregar "dimensiones algebraicas", por decirlo de un modo muy informal, se pierden propiedades estructurales que limitan los resultados y la fuerza que tienen. **Historias Poco Fiables de Creer** Existe otro rumor bastante curioso de De Moivre, además de su noble historia de vida (si se le puede llamar así a la indiferencia cultural y social que padecen las matemáticas, xd) que contrasta claramente con las múltiples aplicaciones que tuvo su teorema para simplificar cálculos y motivar resultados clave para el desarrollo tecnológico, se dice que el tipo fue capaz de predecir el día de su muerte. Aparentemente, se dio cuenta de que cada día dormía $15$ minutos más, por lo que en $73$ días, cuando hubiera dormido $24$ horas, estaría muerto. Y así fue, al morir el médico catalogó su muerte como somnolencia y partió a sus $87$ años de edad. Es un caso parecido al de **Girolamo Cardano**, matemático fanático de los horóscopos que se suicidó (a costillas de su buena salud ) para que su muerte coincidiera con la fecha en la que predijo su partida usando sus conocimientos en astrología. (Imagino que pensó que sería la última cereza del pastel requerida para coronar una vida llena de logros o qué sé yo.) Cardano es, por cierto, quien publicó la solución general de una ecuación de tercer grado, también llamada **fórmula de Cardano y Tartaglia**, maestro además de **Lodovico Ferrari**, quien dio con la solución general para ecuaciones de cuarto grado. Cuestiones que más tarde motivarían el surgimiento de la **teoría de grupos**, la **teoría de Galois** y el **teorema de Abel-Ruffini**. Autor: *Yves Stanislas Ramírez Jiménez* ---