#MOC # $\color{ffffff}\colorbox{#db7093}{- Topología General -}$ --- >[!TGDefinición]- $~$ Requiere Conocimientos Previos >- [[🐧 Álgebra Superior]]: **Álgebra Superior I** >- [[⚪ Cálculo Infinite.|⚪ Cálculo Diferencial e Integral]]: **Cálculo Diferencial e Integral III** >- [[🟤 Análisis Matema.|🟤 Análisis Matemático]]: **Análisis Matemático I** ##### <font style="color:#f59fac">$\S$ Cita. </font> *"In these days the angel of topology and the devil of abstract algebra fight for the soul of every individual discipline of mathematics."* $\phantom{..}$*-Hermann Weyl* 🍩 #Rama > [!TGrama] $\phantom{.}$ ¿Qué es la Topología? > > La **topología** es la rama de las [[📐 Matemáticas|matemáticas]] que estudia las propiedades de los cuerpos geometricos que se preservan mediante transformaciones continuas. > > Uno de los primeros pasos que dierón lugar a la **topología** fue dado por el celebre y prolifero matemático *Leonard Euler*. Un nombre más reciente y que contribuyo al desarrolo del la rama es el de *Henri Poincaré*, celebre por ser considerado el ultimo universalista. > > | $\phantom{....}$ ***Leonard Euler*** | $\phantom{....}$***Henri Poincaré*** | > | -------------- | -------------- | > | ![[aac30c11f6f57df0b73c5339ea2d9480.jpg]] | ![[115fe89e1854ab3a295add.png]]| > > La **topología** se concentra en hablar de [[Espacio Topológico|espacios topologicos]] y [[Función|funciones]] [[Función Continua en ET's|continuas]]. También tiene un amplio interes en clasificar múltiples atributos de dichos espacios, tales como la [[ET Conexo|conexidad]], [[ET Compacto|compacidad]], [[ET Metrizable|metrizabilidad]] y demás. > > > > > > #### <font style="color:#f59fac">$\S$ Indice de Contenidos.</font> ### $-~ \text{Topología I: Topología Básica }~-$ ###### $~~~\S ~1.$ Construcción de una Topología. $1.1$ **Abiertos, Vecindades y Cerrados** - $1.1.1$ [[Espacio Topológico]] - $1.1.2$ [[ET Metrizable]] - $1.1.3$ [[Ejemplos de Espacio Topológico]] - $1.1.4$ [[Vecindad en ET]] - $1.1.5$ [[Propiedades de la Colección de Vecindades]] - $1.1.6$ [[Construcción de un ET por un Sistema de Vecindades]] - $1.1.7$ [[Subconjunto Cerrado en ET]] - $1.1.8$ [[Construcción de un ET por una Colección de Cerrados]] $1.2$ **Bases y Subbases** - $1.2.1$ [[Base de un ET]] - $1.2.2$ [[Topología Generada por Base]] - $1.2.3$ [[Subbase de un ET]] - $1.2.4$ [[Topología Generada por Subbase]] - $1.2.5$ [[Base de Vecindades y Locales en un ET]] - $1.2.6$ [[Topología Generada por Bases de Vecindades]] - $1.2.7$ [[Base de la Colección de Cerrados]] ##### $~~~\S~2.$ Operadores y Axiomas de Numerabilidad. $2.1$ **Operador Cerradura** - $2.1.1$ [[Derivado de un Conjunto en un ET]] - $2.1.2$ [[Propiedades del Conjunto Derivado]] - $2.1.3$ [[Cerradura de un Conjunto en un ET]] - $2.1.4$ [[Caracterización de Punto de Adherencia con Vecindades]] - $2.1.5$ [[Caracterizaciones de Punto de Adherencia con Abiertos]] - $2.1.6$ [[Propiedades de la Cerradura en un ET]] - $2.1.7$ [[Axiomas de Kuratowski para Construir una Topología]] $2.2$ **Operador Interior** - $2.$ [[Interior de un Conjunto en un ET]] - $2.$ [[Propiedades del Interior en un ET]] - $2.$ [[Construcción de un ET por Operador Interior]] - $2.$ [[Formulas para la Cerradura y el Interior]] $2.3$ **Operador Frontera y Exterior** - $2.$ [[Frontera de un Conjunto en un ET]] - $2.$ [[Caracterización de Punto Frontera con Abiertos y Vecindades]] - $2.$ [[Propiedades que Relacionan la Frontera, la Cerradura y el Interior]] - $2.$ [[Exterior de un Conjunto en un ET]] - $2.$ [[Propiedades del Exterior]] $2.4$ **Axiomas de Numerabilidad** - $2.$ [[Peso de un ET]] - $2.$ [[ET Primer Numerable]] - $2.$ [[ET Segundo Numerable]] - $2.$ [[Conjunto Denso en ET]] - $2.$ [[Caracterizaciones de Subconjunto Denso en ET]] - $2.$ [[ET Separable]] ##### $~~~\S~3.$ Continuidad y Topologías Inducidas. $3.1$ **Funciones Continuas** - $3.$ [[Función Continua en ET's]] - $3.$ [[Ejemplos de Funciones Continuas en ET's]] - $3.$ [[Equivalencias de Continuidad]] - $3.$ [[Composición de Funciones Continuas]] - $3.$ [[Lema del Pegado]] - $3.$ [[Álgebra de Funciones Continuas]] - $3.$ [[ET's Homeomorfos]] - $3.$ [[Ejemplos de ET's Homeomorfos]] - $3.$ [[Función Cerrada y Abierta]] - $3.$ [[Propiedades de Funciones Cerradas y Abiertas]] - $3.$ [[Imagen Continua de Segundo Numerable]] $3.2$ **Topologías Inducidas** - $3.$ [[Subespacio Topológico|Subespacio Topológico]] - $3.$ [[Propiedades de Subespacio]] - $3.$ [[Topología Fuerte]] - $3.$ [[Topología Débil]] - $3.$ [[Topología Débil Generalizada]] - $3.$ [[Producto Topológico]] - $3.$ [[🧠 Cerebro Matemático/📐 Matemáticas/🍩 Topología General/Topología I/3. Continuidad y Topologías Inducidas/Propiedades del Producto Topológico|Propiedades del Producto Topológico]] - $3.$ [[Topología de Cajas]] - $3.$ [[Lema del Tubo]] - $3.$ [[Topología Cociente]] - $3.$ [[Suma Topológica Libre]] - $3.$ [[Topología Inducida por un Orden]] ##### $~~~\S~4.$ Axiomas de Separación. $4.1$ **Axiomas** $T_{0}- T_{2.5}$ - $4.1$ [[ET de Kolmogórov|ET de Kolmogórov o T0]] - $4.2$ [[Caracterización de ET de Kolmogórov]] - $4.3$ [[ET de Fréchet|ET de Fréchet o T1]] - $4.4$ [[Caracterizaciones de ET de Fréchet]] - $4.5$ [[ET de Hausdorff|ET de Hausdorff o T2]] - $4.6$ [[Caracterizaciones de ET de Hausdorff]] - $4.$ [[Sucesión en un ET]] - $4.7$ [[Primer Cadena AS]] - $4.8$ [[Primer Cadena AS Negada]] - $4.9$ [[Funciones Continuas con Contradominio T2]] - $4.10$ [[ET de Urysohn o T2.5]] $4.2$ **Axiomas** $T_{3}$ y $T_{3.5}$ - $4.$ [[ET de Hausdorff Regular|ET de Hausdorff Regular o T3 + T1]] - $4.$ [[Caracterizaciones de ET Regular]] - $4.$ [[Segunda Cadena AS Negada]] - $4.$ [[ET de Tychonoff|ET de Tychonoff o T3.5 + T1]] - $4.$ [[Caracterización de ET Completamente Regular]] - $4.$ [[Caracterización de ET Completamente Regular con Funciones]] - $4.$ [[Base de Aberrados Implica Completamente Regular]] - $4.$ [[Todo EP es T3.5]] - $4.$ [[Tercer Cadena AS Negada]] - $4.$ [[Función Producto Diagonal]] - $4.$ [[Teorema de Inmersión de Tychonoff]] $4.3$ **Axioma** $T_{4}$ - $4.$ [[ET de Hausdorff Normal|ET de Hausdorff Normal o T4 + T1]] - $4.$ [[Caracterizaciones de ET Normal]] - $4.$ [[La Recta de Sorgenfrey es Hausdorff Normal]] - $4.$ [[Lema de Jones]] - $4.$ [[Caracterización de ET Normal con Sucesiones]] - $4.$ [[Cuarta Cadena AS Negada]] - $4.$ [[Lema de Urysohn]] - $4.$ [[Teorema de Tietze-Uryson]] - $4.$ [[Axiomas de Separación Hereditarios]] - $4.$ [[Axiomas de Separación para el Producto Topológico]] $4.4$ **Axioma** $T_{5}$ - $4.$ [[ET de Hausdorff Completamente Normal o T5 + T1]] - $4.$ [[Propiedades de ET Completamente Normal]] - $4.$ [[Caracterización de ET Completamente Regular]] - $4.$ [[Quinta Cadena de AS Negada]] - $4.$ [[Propiedades de ET Hausdorff Completamente Normal]] - $4.$ [[La Topología Inducida por un COTO es Hausdorff Completamente Normal]] ##### $~~~\S~5.$ Conexidad y Compacidad. $5.1$ **Conexidad** - $7.1$ [[ET Conexo]] - $7.2$ [[La Recta Usual es Conexa]] - $7.3$ [[Caracterizaciones de ET Conexo]] - $5.$ [[Caracterización de Conexo Linealmente Ordenado]] - $7.4$ [[Imagen Conexa por Continuidad]] - $5.$ [[Teorema de Bolzano]] - $7.5$ [[Subconjunto Atrapado en Conexo]] - $7.6$ [[Solo los Intervalos son Conexos en R]] - $5.$ [[Lema de Tyrell|Lema de Tyrell]] - $6.$ [[El Producto de Conexos es Conexo]] - [[ET Conexo por Trayectorias]] $5.2$ **Compacidad** - $7.7$ [[ET Compacto]] - $5.$ [[Ejemplos de ET's Compactos]] - $5.$ [[Caracterización de ET Compacto con PIF]] - $5.$ [[Propiedades de ET Compacto]] - $5.$ [[La Compacidad se preserva bajo Continuidad]] - $5.$ [[ET de Hausdorff Compacto Implica Normal]] - $5.$ [[Filtro en un Conjunto]] - $5.$ [[Caracterización de Ultrafiltro]] - $5.$ [[Caracterización de ET Compacto con Filtros]] - $5.$ [[Teorema de Tychonoff]] - $5.$ [[ET de Lindelof y Numerablemente Compacto]] - $5.$ [[ET de Regular y de Lindelof Implica Normal]] - $5.$ [[Propiedades de ET Numerablemente Compacto]] - $5.$ [[Suma Topológica Libre de Compactos]] - $5.$ [[Teorema de la Intersección de Cantor]] ##### $~~~\S~6.$ Teoremas de Metrización. - $6.$ [[Ser Metrizable es Propiedad Topológica]] - $6.$ [[El Producto Numerable de ET's Metrizables]] - $6.$ [[Teorema de Metrización de Urysohn]] - $6.$ [[Conjunto Fσ]] - $6.$ [[Conjunto Gδ]] - $6.$ [[ET Perfectamente Normal o T6]] - $6.$ [[Caracterización de ET Perfectamente Normal]] - $6.$ [[Teorema de Stone]] - $6.$ [[Teorema de Nagata-Smirnov]] - $6.$ [[ET Paracompacto]] - $6.$ [[Teorema de Metrización de Smirnov]] ### $-~ \text{Topología II: Intro. a Topología Álgebraica }~-$ [[ET Conexo por Trayectorias]] [[Componente Conexa]] [[Unión No Ajena de Conexos por Trayectorias]] [[Componente Conexa por Trayectorias]] [[Propiedades de ET's Conexos por Trayectorias]] [[ET Localmente Conexo por Trayectorias]] [[Relación entre Conexidad Local y Conexidad]] [[Imagen de Conexo Local bajo Cociente]] [[ET's Homotópicamente Equivalentes]] [[Homotopía Relativa a un Conj. es Clase de Equivalencia]] [[Propiedades de Funciones Homotópicas Relativas]] [[Propiedades de ET Contraíble]] [[Trayectorias Homotópicas]] [[Concatenación de Trayectorias]] [[Asociatividad y Neutro de la Concatenación]] [[Trayectoria Inversa de una Trayectoria]] [[Grupo Fundamental]] [[Isomorfismo de Grupos Fundamentales]] [[ET Simplemente Conexo]] [[Invarianza Topológica del Grupo Fundamental]] [[Invarianza Homotópica del Grupo Fundamental]] [[Aplicación Cubriente]] [[Levantamiento de una Función]] [[Grupo Fundamental del Círculo]] [[Teorema del Punto Fijo de Brouwer]] [[Grupo Fundamental del Producto]] [[Teorema Fundamental del Álgebra]] [[Teorema de Borsuk-Ulam]] [[Teorema de Lusternik-Schnirelmann]] [[Ejemplos de Aplicaciones Cubrientes]] [[Propiedades de Aplicaciones Cubrientes]] [[Teorema de Levantamiento de Funciones]] [[Clasificación de Espacios Cubrientes]] [[Espacio Cubriente Universal]] [[Composición de Aplicaciones Cubrientes]] [[ET Semilocalmente Simplemente Conexo]] [[Acción de Grupo en ET]] [[Espacio de Órbitas y Proyección Orbital]] [[Acción de Cartan]] [[G-Espacio de Cartan y Proyección Cubriente]] [[Grupo Fundamental del Espacio de Orbitas]] ### $-~ \text{Topología III: Intro. a Topología de Dimensión Infinita }~-$ [[Teorema de Dugundji]] [[El Cubo de Hilbert]] - $1.1$ [[Dimensión Topológica]] - $1.2$ [[Caracterización de Dimensión Cubriente]] - $1.3$ [[Propiedades de la Dimensión Cubriente Cero]] - $1.4$ [[Ejemplos de Dimensión Cubriente]] - $1.5$ [[Partición de Cerrados Disjuntos]] - $1.6$ [[Colección Esencial e Inesencial de Cerrados]] - $1.7$ [[Dimensión Cubriente con Colecciones Esenciales]] - $1.8$ [[Teorema de Eilenberg-Otto]] - $1.9$ [[ET Fuertemente y Débilmente de Dimensión Infinita]] - $1.10$ [[ET de Dimensión Numerable]] - $1.11$ [[ET Fuertemente de Dimensión Numerable]] ##### $\S \phantom{.}1.$ Teoría Básica de Retractos ```start-multi-column ID: ExampleRegion8 number of columns: 2 border: off ``` $1.1$ **Retractos de un Espacio Topológico** - $1.2$ [[Retracto de un ET]] - $1.3$ [[Propiedad r-Invariante]] - $1.4$ [[Propiedad del Punto Fijo]] - $1.5$ [[F.P.P es r-Invariante]] - $1.6$ [[La Compacidad Local es r-Invariante]] - $1.7$ [[ET Contráctil]] - $1.8$ [[La Contractibilidad es r-Invariante]] - $1.9$ [[ET Débil y Fuertemente Localmente Contráctil]] - $1.10$ [[Localmente Conexo y Conexidad Im Kleinen]] - $1.11$ [[La Contractibilidad Local es r-Invariante]] $1.2$ **Espacios ANE Y AE** - $1.12$ [[Extensor Absoluto de un ET]] - $1.13$ [[Cardinalidad del Extensor Absoluto de una Clase]] - $1.14$ [[El Producto Topológico es AE(X) si los Factores lo son]] - $1.15$ [[Ser Extensor Absoluto es una Propiedad Topológica]] - $1.16$ [[ET's Extensores Absolutos de la Clase de Normales]] - $1.17$ [[Espacio Topológico Vectorial]] --- end-column --- $~$ - $1.18$ [[ETV Localmente Convexo]] - $1.19$ [[Extensor Absoluto de Vecindad de un ET]] - $1.20$ [[Los Abiertos son ANE(X)]] - $1.21$ [[Las Propiedades AE(X) y ANE(X) son r-Invariante]] - $1.22$ [[El Producto Topológico es ANE(X) si los Factores lo son]] - $1.23$ [[Ser AE(K) Implica Contractibilidad]] - $1.24$ [[Ser ANE(K) Implica ser AE(K) si la Clase es de Normales]] - $1.25$ [[Ser ANE(K) Implica Localmente Contráctil]] $1.3$ **Espacios AR Y ANR** - $1.26$ [[ET Retracto Absoluto]] - $1.27$ [[ET Retracto Absoluto de Vecindad]] $1.3$ **Encajes en Espacios Normados** - $1.28$ [[Casco Convexo y Combinación Convexa]] - $1.29$ [[Teorema de Kuratowski-Wojdislawski]] - $1.30$ [[Teorema de Extensión de Dugundji y AE=AR]] - $1.31$ [[Fórmulas de Whitney y McShane]] - $1.32$ [[Teorema de Krein-Milman]] === end-multi-column ##### $\S \phantom{.}2.$ Complejos Simpliciales Geométricos y Abstractos ```start-multi-column ID: ExampleRegion9 number of columns: 2 border: off ``` $2.1$ **Complejos Simpliciales Geométricos** - $2.1$ [[Conjunto Afínmente Independiente]] - $2.2$ [[Simplejo Geométrico de Dimensión k]] - $2.3$ [[Homeomorfismo entre n-Simplejos Geométricos]] - $2.4$ [[Caras de un n-Simplejo Geométrico]] - $2.5$ [[Complejo Simplicial Geométrico]] - $2.6$ [[Realización Geométrica de un Complejo Simplicial Geométrico]] - $2.7$ [[Elementos de un Politopo]] - $2.8$ [[Portador de un Punto de la Realización]] $2.2$ **Complejos Simpliciales Abstractos** - $2.9$ [[Complejo Simplicial Abstracto]] - $2.10$ [[De un Complejo Simplicial Geométrico a uno Abstracto]] - $2.11$ [[El Nervio de una Cubierta es un Complejo Simplicial Abstracto]] - $2.12$ [[Funciones del Conjunto de Vértices en ℝ]] - $2.13$ [[Unión de Simplejos Realizados]] - $2.14$ [[Realización Geométrica de un Complejo Simplicial Abstracto]] - $2.15$ [[Coordenadas Baricentricas]] --- end-column --- $2.3$ **Subdivisiones** - $2.16$ [[Subdivisión de un Complejo Simplicial Geométrico]] - $2.17$ [[La Realización de una Subdivisión y el Complejo Simplicial son Homeomorfos]] - $2.18$ [[Triangulación Estándar y Baricentro]] - $2.19$ [[Subdivisión Baricentrica]] - $2.20$ [[Diámetro de un Simplejo Geométrico]] - $2.21$ [[Mesh de un Complejo Simplicial]] $2.4$ **Teorema de Brouwer del Punto Fijo** - $2.22$ [[Función y Simplejo de Sperner]] - $2.23$ [[Lema de Sperner]] - $2.24$ [[Teorema de Kuratowski-Knaster-Mazurkiewicz]] - $2.25$ [[Teorema de Brouwer del Punto Fijo]] $2.5$ **Consecuencias del Teorema de Brouwer** - $2.26$ [[Bola Unitaria sin la F.F.P]] - $2.27$ [[Bola en EVN sin la F.P.P]] - $2.28$ [[Retracto de una Bola en un EH]] - $2.29$ [[El Cubo de Hilbert tiene la F.P.P.]] - $2.30$ [[Teorema de Schauder]] === end-multi-column - [[ET Homogéneo]] - [[Grupo Topológico]] - [[Todo Grupo Topológico es Homogéneo]] - [[Propiedades de un Grupo Topológico]] - [[ET G-Espacio]] - [[Grupo de Homeomorfismos y Equivalencia de Homogeneidad]] - [[Topología Compacto Abierta en 𝓗(X)]] - [[Condiciones para que 𝓗(X) sea Grupo Topológico]] - [[Completez de 𝓗(Q) con Métrica Adecuada]] - [[Teorema de Baire]] - [[Homeomorfismo del Pseudo Interior de Q en si Mismo]] - [[Lema del Cuadrado]] - [[Conjunto Denso en 𝓗(Q)]] - [[Universalidad de 𝓗(Q)]] - [[El Cubo de Hilbert como Espacio Producto]] - [[Teorema de Keller]] - [[Propiedad de las Celdas Disjuntas]] - [[Teorema de Toruńczyk]] - [[Q-Variedades y Teorema de Estabilidad]] - [[Hiperespacio de un ET]] - [[Teorema de Curtis-Schori]] - [[Teorema de Nadler-Quinn-Stavrakas]] - [[Problema de Anderson]] - [[Distancia de Banach-Mazur]] - [[Propiedades de la Distancia de Banach-Mazur]] - [[Compacto de Banach-Mazur]] - [[Problema de Petczynski]] - [[Compacto de Banach-Mazur con Funcionales de Minkowski]] - [[Función de Katetov]] - [[Propiedad de Extensión y EM Finitamente Inyectivo]] - [[Extensión de Katetov y Soporte]] - [[Dimensión Inductiva Grande y Chica]] - ### $-~ \text{Topología IV: Topología Categorica }~-$ - [[Intersección de Topologías es Topología]] - [[Familia de Topologías para un Conjunto es un COPO]] - [[Familia de Topologías para un Conjunto es una Retícula Completa]] - [[Caracterización de Base con Topología Generada por Colección]] - [[Caracterización de Subbase con Topología Generada por Colección]] - [[Topología Inicial respecto a una Función]] - [[Equivalencias de Topología Inicial]] - [[Propiedades de la Topología Inicial]] - [[Factorización de Funciones Continuas]] - [[Homeomorfismo de Factorización en Factorización]] - [[Topología Final respecto a una Función]] - [[Equivalencias de Topología Final]] - [[Propiedades de la Topología Final]] - [[Factorización Mediante Cociente e Inyectiva]] - [[Secciones y Retracciones]] - [[Propiedades de Secciones y Retracciones]] - [[Propiedades de Retracciones Topológicas]] - [[Topología Final e Inicial en Factorización]] - [[Unicidad de Factorización con Cociente y Encaje]] - [[Topología Inicial con Fuente de Funciones]] - [[Equivalencias de Topología Inicial respecto de Familia]] - [[Fuente de Funciones que Separa Puntos de Cerrados]] - [[Relación entre Inicial e Inicial con Fuente]] - [[Topología Inicial para el Producto Topológico]] - [[Propiedad Universal del Producto Topológico]] - [[Lema del Encaje para el Producto Topológico]] - [[Lema del Encaje en Factorizaciones]] - [[Encaje de un ET en un Producto de Sierpinski]] - [[Encaje de Producto de Subespacios en Producto]] - [[Producto de Familia de Funciones]] ### $-~ \text{Sistemas Dinámicos e Hiperespacios }~-$ [[Sistema Dinámico Discreto]] [[Órbita de un Punto]] [[Punto Periódico y Punto Fijo]] [[Punto Recurrente y Punto No Errante]] [[Siempre Hay Puntos No Errantes]] [[Equivalencia de Punto Recurrente]] [[Siempre Hay Puntos Recurrentes]] [[Equivalencia de Punto No Errante]] [[El Conjunto de Puntos No Errantes es Cerrado]] [[Subconjunto Invariante y Fuertemente Invariante]] [[Red en un ET]] [[Propiedades de Redes en un ET]] [[Redes y Generación de Topologías]] [[Filtro en un Conjunto]] [[Redes Sumables en un ET]] ### <font style="color:#f59fac">$\S$ Referencias.</font> Posible Código de Emojis: - Inicio de la Demostración (Hipótesis): 🌱 - Contradicción: 🤡 - Resultado Fuerte o Importante (Crucial históricamente): 🤯 🎯💎 - Puntos Clave de la Prueba: 🦩 - Fin de la Demostración: ⚔️ $\textdagger$ 🌳🪶 - Fin del Curso o del Tema: 🚩🍾 🎉🥳 - Pequeña Dosis de Historia o Datos curiosos: 🍷🏛️ - Hint: 🧭💡 - Fin de la Solución: 🥂🪶 - Sección de Descanso, consejo, apoyo, ánimos: 🍕☕🍵 ---