# 이상적분
앞선 문서에서 부분적분을 활용하는 한 예로 [[적분의 계산#^e4c377|감마함수]]를 들었다. 감마함수는 $\Gamma(t) := \int_0^\infty x^{t-1}e^{-x}dx$로 정의되었으며, 자연수 $n$에 대해 $\Gamma(n) = (n-1)!$가 성립한다는 특징이 있었다. 문제점이라면 우리는 아직 '$0$부터 $\infty$까지 적분'한다는 것을 엄밀하게 정의하지 않았다는 것이다. 앞선 예시에서는 $\infty$를 마치 함수에 들어갈 수 있는 값인 양 다루어 결과를 얻었지만, 이를 모든 함수에 적용할 수 있는 것은 아니다. 우선 '$\infty$까지 적분한다'는 것이 무엇인지를 명확히 정의한 뒤, 그 성질에 대해 알아보자.
>**Definition**. 아래의 모든 적분을 **이상적분(improper integral)** 이라 부른다.
>1. 함수 $f$가 실수 $c$와 임의의 $t > c$에 대해 $[c, t]$ 위에서 [[리만적분]] 가능하다고 하자. 만약 $\lim_{t \to \infty}\int_c^t f(x)dx$가 존재한다면, 그 값을 $\int_c^\infty f(x)dx$로 쓰고 이를 **$[c, \infty)$에서 $f$의 이상적분** 이라 부른다.
>2. 함수 $f$가 실수 $c$와 임의의 $u < c$에 대해 $[u, c]$ 위에서 리만적분 가능하다고 하자. 만약 $\lim_{t \to -\infty}\int_t^c f(x)dx$가 존재한다면, 그 값을 $\int_{-\infty}^c f(x)dx$로 쓰고 이를 **$(-\infty, c]$에서 $f$의 이상적분** 이라 부른다.
>3. 함수 $f$에 대해 $\int_c^\infty f(x)dx,\,\,\,\,\int_{-\infty}^c f(x)dx$이 모두 존재할 때, $\int_{-\infty}^\infty f(x)dx := \int_c^\infty f(x)dx + \int_{-\infty}^c f(x)dx$로 정의하며 이를 **$(-\infty, \infty)$에서 $f$의 이상적분**이라 부른다.
>4. 함수 $f$가 임의의 실수 $t \in [a, b)$에 대해 $[a, t]$위에서 리만적분 가능하다고 하자. 만약 $\lim_{t \to c-}\int_a^t f(x)dx$가 존재한다면, 그 값을 $\int_a^b f(x)dx$로 쓰고 이를 **$[a, b)$에서 $f$의 이상적분** 이라 부른다.
>5. 함수 $f$가 임의의 실수 $t \in (a, b]$에 대해 $[t, b]$위에서 리만적분 가능하다고 하자. 만약 $\lim_{t \to a+}\int_t^c f(x)dx$가 존재한다면, 그 값을 $\int_a^b f(x)dx$로 쓰고 이를 **$(a, b]$에서 $f$의 이상적분** 이라 부른다.
3번 정의에서 $\int_{-\infty}^\infty f(x)dx$의 값은 실수 $c$의 선택에 의존하지 않는다. 다른 실수 $d$를 가정하면, [[리만적분#^535b74|적분 구간의 가법성]]에 의해$\int_c^\infty f(x)dx = \lim_{t \to \infty} \int_c^t f(x)dx = \lim_{t \to \infty} \int_d^t f(x)dx + \int_c^d f(x)dx = \int_d^\infty f(x)dx + \int_c^d f(x)dx$가 성립하며, $\int_{-\infty}^c f(x)dx$에 대해서도 비슷한 논리를 적용할 수 있으므로 $\int_c^\infty f(x)dx + \int_{-\infty}^c f(x)dx = \int_d^\infty f(x)dx + \int_{-\infty}^d f(x)dx = \int_{-\infty}^\infty f(x)dx$가 성립하기 때문이다.
또한 3번 정의에서 구간 $(-\infty, \infty)$에서의 이상적분은 반드시 $(-\infty, c]$와 $[c, \infty)$로 쪼개어 적분한 뒤 합한 것으로 정의되어야 한다. 예를 들어 $\int_{-\infty}^{\infty} x dx$를 계산한다고 할 때, 이를 $\lim_{t \to \infty} \int_{-t}^{t} x dx$로 보고 계산하면 $0$이 나오지만 위의 정의대로라면 $\int_{-\infty}^{\infty} x dx = \int_{0}^{\infty} x dx + \int_{-\infty}^{0} x dx$이며, 마지막 식은 (엄밀하지 않지만) $\infty - \infty$ 꼴이므로 그 값을 명확히 정할 수 없다.
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이상적분은 (만약 정의된다면) 우리가 알고 있는 적분과 비슷한 성질을 띠며, 그 증명은 대부분 적분과 극한의 성질로부터 따라 나온다.
>**Theorem**.
>함수 $f, g$에 대해 구간 $[c, \infty)$ 에서의 이상적분이 각각 정의된다고 가정하자.
>(1)$f(x) + g(x)$의 $[c, \infty)$에서의 이상적분 또한 정의되며 $\int_c^\infty f(x) + g(x) dx = \int_c^\infty f(x) dx + \int_c^\infty g(x) dx.$
>(2)$kf(x)$의 $[c, \infty)$에서의 이상적분 또한 정의되며 $\int_c^\infty kf(x)dx = k\int_c^\infty f(x)dx.$
>(3) ($\int_c^d f(x)dx$가 정의되는) 임의의 실수 $d$에 대해 $\int_c^\infty f(x)dx = \int_d^\infty f(x)dx + \int_c^d f(x)dx.$
>___Proof___.
>(1) $\int_c^\infty f(x) + g(x) dx = \lim_{t \to \infty} \int_c^t f(x) + g(x)dx$$=\lim_{t \to \infty}\int_c^t f(x)dx + \int_c^tg(x)dx = \int_c^\infty f(x) dx + \int_c^\infty g(x) dx$
>(2) $\int_c^\infty kf(x)dx = \lim_{t \to \infty} \int_c^t kf(x)dx = k\lim_{t \to \infty} \int_c^t f(x)dx = k\int_c^{\infty} f(x)dx$
>(3) $\int_c^\infty f(x)dx = \lim_{t \to \infty} \int_c^t f(x)dx = \lim_{t \to \infty} \int_d^t f(x)dx + \int_c^d f(x)dx = \int_d^\infty f(x)dx + \int_c^d f(x)dx$
$[c, \infty)$에서의 이상적분에 대해서만 서술하였지만, 위 정리는 다른 모든 종류의 이상적분에 대해서도 거의 동일하게 성립한다는 것을 알아두자.
>**Exercise**. 위에서 정의한 모든 종류의 이상적분에 대해서, 위 정리를 증명해 보라.
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몇 가지 예시를 살펴보며 이 문서를 마무리하자.
>**Example**. $\int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx$를 계산해 보자.
>$\int\frac{1}{x^2}dx = -\frac{1}{x}+C$이므로 $-\frac{1}{x}$를 역도함수로 잡고 계산하면 된다. $\lim_{t\to \infty} \int_1^t \frac{1}{x^2}dx =\lim_{t\to \infty} -\frac{1}{t} - (-1) = 1.$
>**Example**. $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx$를 계산해 보자.
>$\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx = \frac{1}{2}\sqrt{x} + C$이므로, $\lim_{t\to 0+}\int_t^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx = \lim_{t\to 0+}\frac{1}{2}(1-\sqrt{x}) = \frac{1}{2}.$
>**Exercise**. 맨 처음에 언급한 [[적분의 계산#^e4c377|감마함수]]의 정의 및 계산이 (이상적분을 도입하면) 수학적으로 엄밀하다는 것을 검증해 보라.
# 참고
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