# 테일러 전개 직전 소단원에서는 다항함수를 일반화한 멱급수에 대해서 알아보았다. 본 소단원에서는 주어진 함수를 멱급수로 나타낼 수 있는지에 대해서 살펴볼 것이다. 지난 소단원에서 다루었듯 멱급수는 무한 번 미분 가능하므로, 어떤 함수 $f$를 멱급수로 나타낼 수 있으려면 우선 $f$는 (정의역 내에서)무한 번 미분 가능해야 한다. $f$를 아래와 같은 멱급수로 썼다고 하자. $f(x) = \sum_{k = 0}^{\infty} a_k(x-c)^k$ 식의 양변을 $n$번 미분하면 아래와 같은 식을 얻는다. $f^{(n)}(x) = \sum_{k = n}^{\infty} \frac{k!}{(k-n)!}\, a_k(x-c)^{k - n}$ 여기에 $x = c$를 대입하면 $a_n = \frac{f^{(n)}(c)}{n!}$ 을 만족한다. 따라서 $f$를 ($c$를 중심으로 하는) 멱급수로 나타낼 수 있다면, 그 멱급수의 계수 $a_k$는 반드시 위의 식을 만족시켜야 한다. 그렇다면 반대로 위의 조건을 만족하는 멱급수 $\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^{k}$ 는 $f$와 일치할까? 만약 $f$를 ($c$를 중심으로 하는) 멱급수로 나타낼 수 있다면 위 식은 반드시 $f$와 같다. 그러나 $f$를 멱급수로 나타낼 수 있는지에 대해서는 아직 말할 수 없다. 이 문제에 답하기 위해 우선 아래의 개념을 도입하자. >**Definition**. $f$의 $a$에서의 **테일러 급수(Taylor series)** 를 $[T_af](x):= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$로 정의한다. 즉 상술한 문제는 '함수 $f$의 테일러 급수가 항상 $f$로 수렴하는가?'로 표현할 수 있다. 또한 아래와 같이 테일러 급수를 특정 항부터 잘라서 다항식으로 만든 것을 테일러 다항식이라고 한다. >**Definition**. 함수 $f$의 $a$에서의 $n$차 **테일러 다항식(Taylor polynomial)** 을 다음과 같이 정의한다. $[T_a^n f](x) := \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ 테일러 급수는 테일러 다항식(으로 구성된 함수열)의 극한이라 할 수 있다. 테일러 다항식이 특히 유용한 점은, 후술할 테일러 부등식을 이용해 테일러 다항식과 $f$ 사이의 오차를 정량적으로 표현할 수 있다는 것이다. 정리를 소개하기 앞서 용어를 하나 정의하고 가자. >**Definition**. 열린 구간에서 정의된 함수 $f : I \to \mathbb{R}$이 $C^n \,\, (n \in \mathbb{N})$이라는 것은, $f$가 정의역 전체에서 최소 $n$번 미분 가능하며 $n$번 미분한 도함수 $f^{(n)}$이 정의역 전체에서 연속이라는 것이다. $C^0$ 함수는 연속함수를 의미한다. 또한 $C^\infty$ 함수는 정의역 전체에서 무한 번 미분 가능한 함수를 의미한다. >**Theorem** (**Taylor's inequality**). $f : (\alpha, \beta) \to \mathbb{R}$가 $C^n$함수라 하자. 닫힌 구간 $[a, b] \subset (\alpha, \beta)$를 잡아 $m := \min_{t\in[a,b]} f^{(n)}(t),\qquad M := \max_{t\in[a,b]} f^{(n)}(t)$ 와 같이 정의하자. 그러면 모든 $x\in[a,b]$에 대해 $\frac{m}{n!}(x-a)^n\le f(x)-[T_a^{\,n-1}f](x)\le \frac{M}{n!}(x-a)^n$ 가 성립한다. > >___Proof___. $n=1$인 경우부터 보자. 평균값정리에 의해 어떤 $c\in(a,x)$가 존재하여 $f(x)-f(a)=f'(c)(x-a)$다. 또한 $f'\in C^0$이므로 중간값정리에 의해 $m\le f'(c)\le M$이고, 따라서 $m(x-a)\le f(x)-f(a)\le M(x-a)$를 얻는다. 즉 $n=1$에 대해 결론이 성립한다. >이제 귀납법을 쓴다. 위 정리가 $C^n$ 함수에 대해 성립한다고 가정하자. 이제 $f$를 $C^{n+1}$ 함수라 하고, $f^{(n+1)}$의 최솟값과 최댓값을 $m := \min_{t\in[a,b]} f^{(n+1)}(t),\qquad M := \max_{t\in[a,b]} f^{(n+1)}(t)$로 둔다. 귀납가정을 함수 $f'$에 적용하면 ($f'\in C^n$) 모든 $x\in[a,b]$에 대해 $\frac{m}{n!}(x-a)^n\le f'(x)-[T_a^{\,n-1}f'](x)\le \frac{M}{n!}(x-a)^n$가 성립한다. > >한편 $[T_a^{\,n-1}f'](x)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k+1)}(a)}{k!}(x-a)^k=\frac{d}{dx}\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\right)=\frac{d}{dx}[T_a^{\,n}f](x)$이므로 위 부등식은 $\frac{m}{n!}(x-a)^n\le \frac{d}{dx}\Bigl(f(x)-[T_a^{\,n}f](x)\Bigr)\le \frac{M}{n!}(x-a)^n$로 쓸 수 있다. > >이제 $\phi_m(x):= f(x)-[T_a^{\,n}f](x)-\frac{m}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},\qquad \phi_M(x):= f(x)-[T_a^{\,n}f](x)-\frac{M}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$를 정의하면 $\phi_m'(x)=f'(x)-[T_a^{\,n}f]'(x)-\frac{m}{n!}(x-a)^n\ge 0,\qquad \phi_M'(x)=f'(x)-[T_a^{\,n}f]'(x)-\frac{M}{n!}(x-a)^n\le 0$가 된다. 즉 $\phi_m$은 증가함수고 $\phi_M$은 감소함수다. 또한 $x=a$에서 $(x-a)^{n+1}=0$이고 $[T_a^{\,n}f](a)=f(a)$이므로 $\phi_m(a)=\phi_M(a)=0$이다. 따라서 $x\in[a,b]$에 대해 $\phi_m(x)\ge \phi_m(a)=0,\qquad \phi_M(x)\le \phi_M(a)=0.$ 이를 다시 풀어쓰면 $\frac{m}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\le f(x)-[T_a^{\,n}f](x)\le \frac{M}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$이고, 이는 $n+1$에 대해서 위 정리가 성립한다는 것을 의미한다. 수학적 귀납법에 의해 모든 $n$에 대해 정리가 성립한다. >**Corollary(Taylor's remainder formula)**. $f : (\alpha, \beta) \to \mathbb{R}$가 $C^n$함수라 하고 닫힌 구간 $[a, b] \subset (\alpha, \beta)$를 잡자. 그러면 적절한 $c \in (a, b)$에 대해 $f(b)=[T_a^{\,n-1}f](b)+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(b-a)^n$가 성립한다. > >___Proof___. 위 테일러 부등식에서 $x=b$로 두면 $\frac{m}{n!}(b-a)^n\le f(b)-[T_a^{\,n-1}f](b)\le \frac{M}{n!}(b-a)^n$을 얻는다. $f^{(n)}$가 연속이고 $m, M$이 $[a, b]$에서 $f^{(n)}$의 최소/최댓값이므로, 중간값정리에 의해 어떤 $c\in[a,b]$가 존재하여 $f(b)-[T_a^{\,n-1}f](b)=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(b-a)^n$가 성립한다. 위 결과를 이용하면 테일러 급수가 원 함수로 수렴할 충분조건을 얻을 수 있다. >**Theorem**. $f : (\alpha, \beta) \to \mathbb{R}$가 $C^\infty$함수라 하고 닫힌 구간 $[a, b] \subset (\alpha, \beta)$를 잡자. $m_n := \min_{x\in[a,b]} f^{(n)}(x),\qquad M_n := \max_{x\in[a,b]} f^{(n)}(x), \qquad C_n := M_n - m_n$ 라 정의하자. 만약 $\lim_{n \to \infty} \frac{C_n}{n!}(b-a)^n = 0$ 이면 $[a,b]$에서 테일러 다항식 $[T_a^n f]$은 ($n \to \infty$일 때) $f$로 균등수렴하며, 따라서 테일러 급수는 $[a,b]$에서 $f$와 일치한다.[^1] > >___Proof___. 테일러 다항식의 정의에 의해 $\left[ T^{n}_{a}f \right](x) - \left[ T^{n-1}_{a}f \right](x) = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\cdot (x-a)^{n}$ 가 성립한다. 이를 이용해 아래와 같이 쓸 수 있다. $\frac{m}{n!}\cdot (x-a)^{n} \leq \left[ T^{n}_{a}f \right](x) - \left[ T^{n-1}_{a}f \right](x) \leq \frac{M}{n!}\cdot (x-a)^{n} \tag{1}$ 또한 상술한 테일러 부등식을 이용하면 $\frac{m}{n!}\cdot (x-a)^{n} \leq f(x) - \left[ T^{n-1}_{a}f \right](x) \leq \frac{M}{n!}\cdot (x-a)^{n} \tag{2}$ 라 쓸 수 있으므로, $(2)$에서 $(1)$을 빼면 $-\frac{C_n}{n!}\cdot (x-a)^n\le f(x) - [T_a^nf](x) \le \frac{C_n}{n!}\cdot (x-a)^n$ 을 얻으며, $0 \le |f(x) - [T_a^nf](x)| \le \frac{C_n}{n!}\cdot (x-a)^n \le \frac{C_n}{n!}\cdot (b-a)^n$이므로 원하던 결론을 얻는다. 정리의 조건인 $\lim_{n \to \infty} \frac{C_n}{n!}(b-a)^n = 0$은 매우 관대한 조건이다. $n$이 커짐에 따라 $n!$이 증가하는 속도가 $(b-a)^n$보다 훨씬 빠르기 때문에, $C_n$이 매우 커지지 않는 이상 이 식은 $0$으로 수렴한다. 달리 말해 테일러 급수가 원래 함수로 수렴하지 않는 예시를 구성하는 것은 일반적으로 어려우며, 많은 (무한 번 미분 가능한) 함수들이 멱급수로 표현될 수 있다. 이런 종류의 함수에는 특별한 이름이 붙기도 한다. >**Definition**. $f : (\alpha, \beta) \to \mathbb{R}$이 무한 번 미분 가능한 함수라고 하자. 만약 정의역의 모든 점 $c$에 대해 적절한 $\varepsilon$이 존재하여 $c$를 중심으로 하는 $f$의 테일러 급수가 $(c - \varepsilon, c + \varepsilon)$에서 $f$로 수렴한다면, $f$를 **해석적(analytic)** 이라고 한다. --- 여기까지 증명을 무리 없이 따라왔다면 한 가지 의문을 가질 수 있다. 지금까지 우리는 테일러 급수의 수렴성을 닫힌 구간 $[a, b]$에서 따졌는데, 항상 급수의 중심을 왼쪽 끝점인 $a$로 잡아 왔다. 그러므로 상술한 결과는 테일러 급수의 중심이 구간의 오른쪽 끝인 $b$ 또는 구간 내부의 임의의 점에 해당한다면 바로 적용할 수 없다. 그러나 정리의 증명을 잘 살펴보면, 급수의 중심을 $a$가 아닌 $b$로 잡더라도 증명을 거의 대칭적으로 적용할 수 있다는 것을 알 수 있을 것이다. 따라서 테일러 급수의 중심을 구간 내부 임의의 점 $c \in [a, b]$로 잡더라도, $[a, c]$와 $[c, b]$에 정리를 각각 적용한 뒤 결합하면 동일한 결론을 낼 수 있다. 증명 단계에서 굳이 급수의 중심을 구간 끝점으로 잡은 이유는 그렇지 않으면 증명 과정이 좀 더 복잡해 지기 때문이다. 지금부터는 이 사실을 숙지하고, 구간 내의 임의의 점을 중심 삼아 테일러 급수를 쓰더라도 안심하도록 하자. --- 이제 위 정리를 이용하여 몇 가지 중요한 함수들의 테일러 급수를 구해보고, 실제로 수렴하는지도 알아보자. >**Theorem**. $e^x$의 $0$에서의 테일러 급수는 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$이며 $0$을 포함하는 모든 닫힌 구간 $[-b, b]$에 대해 위 급수는 $e^x$로 균등수렴한다. > >___Proof___. $e^x$는 모든 차수에서 도함수가 자기 자신이므로 $e^{(n)}(t)=e^t$이다. 테일러 나머지 공식에 의해 어떤 $c$가 $0$과 $x$ 사이에 존재하여 $e^x-[T_0^{\,n}e](x)=\frac{e^c}{(n+1)!}x^{n+1}.$ $x\ge 0$이면 $0\le c\le x$이므로 $e^c\le e^x$이고 따라서 $\left|e^x-[T_0^{\,n}e](x)\right|\le \frac{e^x}{(n+1)!}|x|^{n+1}\to 0.$ $x<0$이면 $c\in[x,0]$이므로 $e^c\le 1$이고 따라서 $\left|e^x-[T_0^{\,n}e](x)\right|\le \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\to 0.$ 따라서 모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해, 주어진 테일러 급수는 $e^x$로 수렴한다: $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}.$ >**Theorem**. $\sin x, \cos x$의 $0$에서의 테일러 급수는 $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ 이며 임의의 $b > 0$에 대해 $[-b, b]$에서 위 급수들은 원 함수로 균등 수렴한다. > >___Proof___. 테일러 급수를 계산하는 것은 간단하므로 직접 해보자. 이 급수가 실제로 $\sin x, \cos x$로 균등수렴함을 보이자. $f(x) = \sin x, \cos x$에 대해 $f^{(n)}(x)$는 $\pm\sin x$, $\pm\cos x$이므로 $[-b,b]$에서 $|f^{(n)}(x)|\le 1$이다. 따라서 모든 $n$에 대해 $m_n\ge -1$, $M_n\le 1$, $C_n\le 2$다. 그러면 $n \to \infty$일 때 $\frac{C_n}{n!}b^n\le \frac{2}{n!}b^n\to 0$ 이므로 위의 정리를 적용하면 $[-b,b]$에서 테일러 급수가 $\sin x, \cos x$로 균등수렴한다. 앞서 본 '좋은' 함수들과는 달리, 무한 번 미분 가능하지만 테일러 급수가 원 함수로 수렴하지 않는 경우도 존재한다. 아래의 예시를 살펴보자. >**Example**. $f(x)=\begin{cases}0,&x\le0,\\ e^{-1/x^2},&x> 0,\end{cases}$를 고려하자. 이 함수는 $0$을 포함한 모든 점에서 무한 번 미분 가능하며, 모든 $n$에 대하여 $f^{(n)}(0) = 0$이다. 따라서 이 함수의 테일러 급수는 $0$이며, 균등수렴하지만 그 극한이 $f$와는 다르다. 테일러 오차항이 $0$으로 수렴하지 않는 경우 이러한 일이 발생할 수 있다. 이 함수는 비록 $0$ 주위에서 멱급수로 나타낼 수는 없지만 해석학에서 매우 중요한 역할을 하는 함수 중 하나다. 예를 들어 다음 조건을 만족하는 함수를 생각해보자. 1. 실수 전체에서 무한 번 미분 가능하다. 2. 함숫값이 $x < 0$일 때 0, $x > 1$일 때 1이다. 우리가 잘 알고 있는 다항함수, 삼각함수 등을 잘 이어붙이더라도 위 두 조건을 만족하는 함수를 만들어내기는 어려울 것이다. 그러나 위의 $f$를 이용하여 $g(x) := \frac{f(x)}{f(x) + f(1-x)}$라 정의하면 $g$는 상술한 두 조건을 만족시킨다. 이 함수의 구체적인 쓰임새가 궁금하다면 smooth transition function, partition of unity 등에 대해 찾아보자. --- 함수의 테일러 급수를 이용하면 아래와 같은 논증도 할 수 있다. 아래에서 함수에 복소수를 집어넣는 것은, 그 함수의 테일러 급수에 복소수를 대입한 것으로 생각한다.[^2] >**Theorem**. $\sinh ix =i\cdot \sin x.$ > >___Proof___. $\sinh x := \frac{e^x - e^{-x}}{2}$임을 이용하면, $\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!}+ \ldots$ 임을 알 수 있다. 또한 상술한 바와 같이 $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+ \ldots$ 이므로 $\sinh ix = ix - \frac{i\cdot x^3}{3!} + \frac{i\cdot x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+ \ldots$ $= i\cdot \sin x = i\cdot x - \frac{i\cdot x^3}{3!} + \frac{i\cdot x^5}{5!} - \frac{i\cdot x^7}{7!}+ \ldots$ >**Theorem**. $\cosh ix = \cos x.$ > >___Proof___. $\sinh x$와 비슷하게, $\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!}+ \ldots$ 이고 $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!}+ \ldots$ 이므로 $\cosh ix = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!}+ \ldots$ $= \cos x.$ >**Theorem**. $e^{ix}= \cos x +i\cdot \sin x.$ > >___Proof___.$e^x = \cosh x + \sinh x$이므로, $x$ 자리에 $ix$를 대입하여 $\cosh ix + \sinh ix = e^{ix} = \cos x +i\cdot \sin x.$  # 참고 --- ← **PREV**: [[멱급수]]&nbsp;&nbsp;|&nbsp;&nbsp;↑ **UP**: [[5. 미분]]&nbsp;&nbsp;|&nbsp;&nbsp; **NEXT**: [[리만적분]]→ [^1]: $C_n$을 함수 $f$의 Oscillation이라 부르기도 한다. 직관적으로 보았을 때 이는 함수의 $n$계 도함수가 얼마나 진동하는지를 나타낸다. [^2]: 이 경우에 멱급수가 수렴한다는 것을 보여야 하지만, 실수에서 했던 것과 거의 동일한 과정을 거쳐서 증명이 가능하다.