# 미분의 정의와 의미 >**Definition (점에서의 미분가능성)**. $I$가 열린 구간이고, $a\in I$, $f: I\to\mathbb{R}$일 때, >$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ >가 존재하면 **$f$는 $a$에서 미분 가능하다**고 한다. 이때 $f'(a) := \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ >로 정의하며 $f'(a)$를 **f의 a에서의 미분계수(derivative)**라고 부른다. $f'(a)$를 아래와 같이 쓰기도 한다. $\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{df}{dx}\bigg|_{x=a}$ >**Definition (함수의 미분가능성)**. $f$가 $I$의 모든 점에서 미분 가능하면, $f$는 **미분 가능하다**고 한다. >**Definition (도함수)**. 미분가능한 함수 $f : I \to \mathbb{R}$에 대해, $f' : I \to \mathbb{R} ;\, a \mapsto f'(a)$를 $f$의 **도함수(derivative)** 라 부른다. --- 직관적으로 보았을 때, 미분계수는 **함수의 순간 변화율**로 볼 수 있다. 다시 말해 함숫값이 그 점 $a$에서 얼마나 빠르게 변화하는지를 나타내는 척도다. 좀 더 구체적으로 서술하면 다음과 같다. 함수 $q(x)$를 아래와 같이 정의하자. $q(x) := \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 미분계수의 정의에 의해 $\lim_{x \to a} q(x) = f'(a)$다. 여기에서 $q(x)$는 함수 $f$의 $x$와 $a$ 사이의 **평균 변화율**을 의미하므로, 미분계수란 함수의 **평균 변화율의 극한** 내지는 **순간 변화율** 이라 할 수 있다. --- ![[FDecompositionScene.mp4]] 또한 어떤 함수가 순간 변화율을 가진다는 것은, 적어도 그 점 근방에서 이 함수를 일차함수처럼 생각할 수 있다는 뜻이기도 하다. 보다 구체적으로, $h(x) := \frac{f(x)-f(a)}{x-a} - f'(a)(x \neq a), \,\, h(a) = 0$와 같이 쓰자. $f$가 $a$에서 미분가능하므로 $\lim_{x \to a} h(x) = 0$일 것이다. $h$를 이용하여 우리는 $f(x) - f(a) = (h(x) + f'(a))(x-a), \quad f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + h(x)(x-a)$로 쓸 수 있다. 여기에서 마지막 항 $h(x)(x-a)$를 살펴보면, $lim_{x \to a}h(x) = lim_{x \to a}(x-a) = 0$임을 알 수 있다. 즉 마지막 항은 $a$ 근방에서 '일차함수보다 빠르게 감소한다'.[^1] 따라서 $a$ 근방에서 마지막 항은 $0$에 가까우며 우리는 $f$를 일차함수처럼 볼 수 있게 되는 것이다. # 참고 --- ← **PREV**: [[미분의 정의와 의미]]  |  ↑ **UP**: [[5. 미분]]  |   **NEXT**: [[미분의 성질]] → [^1]: 보다 구체적으로는 $\lim_{x \to a} h(x)(x-a)/(x-a) = 0$으로 쓸 수 있다.