>[!quote] In a Nutshell >[[Maps and Induced Structures - Functions, Pushforwards and Pullbacks|Funktionen]], die die Projektion der zweiten Ableitung einer Fläche in den [[Tangentialraum]] beschreiben. Ermöglichen definition der Differentialgleichungen für [[Geodätische]], was diese der Analysis zugänglich macht. --- #### Elementare Differentialgeometrie >[!info] Definition der Christoffel-Symbole >Die **Christoffel-Symbole einer Parametrisierung** $f \in C^{2}(U^{n},\mathbb{R}^{m})$ sind die [[Maps and Induced Structures - Functions, Pushforwards and Pullbacks|Funktionen]] $\Gamma_{ij}^{k}\in C^{0}(U,\mathbb{R})$ für $1\leq i,j,k \leq n$ mit $\Pi_{T}\partial_{ij}f=\sum\limits_{k=1}^{n}\Gamma_{ij}^{k}\partial_{k}f.$ >Damit sind sie die Vorfaktoren für Linearkombination der Basis des Tangentialraumes, um Projektion der zweiten Ableitung darin darzustellen. >Im Setting der Riemmannschen Geometrie betrachten wir eine Immersion $f \colon M\rightarrow \mathbb{R}^m$ und eine [[Charts and Atlas|Karte]] $(x,U)$ und definieren die Funktionen entsprechend$\Gamma_{ij}^k\colon U \rightarrow \mathbb{R} \quad \Pi_{f(p)}\Big( \frac{\partial^{2}f}{\partial x_i \partial x_j}(p) \Big)=\sum\limits_{k=1}^n \Gamma_{ij}^{k}(p)\frac{\partial f}{\partial x_k}(p).$ --- >[!info] Alternative Definition via Stacks >Mit dem in der Vorlesung eingefühten **[[Stack - Formalismus]]** lassen sich die Christoffel-Symbole kompakt schreiben als $\Gamma\coloneqq D^{2}f*(Df\cdot G^{-1})\in \mathbb{R}^{n \times n\times n},$bestehend aus horizontalen Vektoren $\Gamma_{ij}=G^{-1}Df^{T}\cdot (D^{2}f)_{ij}=Df^{\dagger}\partial_{ij}f$ mit der **[[Moore-Penrose Pseudoinverse|Pseudoinversen]]** $Df^{\dagger}=G^{-1}Df^{T}$. Damit erhält man einen Vektor von [[Matrices|Matrizen]] für die Bilinearformen der jeweiligen Komponenten (hier für $U=\mathbb{R}^{2}$):$\Gamma = \begin{pmatrix}\begin{pmatrix}\Gamma_{11}^{1} & \Gamma_{12}^{1} \\ \Gamma_{21}^{1} & \Gamma_{22}^{1}\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}\Gamma_{11}^{2} & \Gamma_{12}^{2} \\ \Gamma_{21}^{2} & \Gamma_{2}^{2} \end{pmatrix}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}\Gamma_{11}^{1} \\ \Gamma_{11}^{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\Gamma_{12}^{1} \\ \Gamma_{12}^{2}\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}\Gamma_{21}^{1} \\ \Gamma_{21}^{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\Gamma_{22}^{1} \\ \Gamma_{22}^{2}\end{pmatrix}\end{pmatrix}.$ >[!faq] Intuition >Der vertikale Vektor $\Gamma_{ij}$ ist die **orthogonale Projektion von $\partial_{ij}f$ in den [[Tangentialraum]].** - **Eindeutig**, da $(\partial f_{1},...,\partial_{n}f)$ Basis des [[Tangentialraum|Tangentialraumes]] - $\Gamma_{ij}^{k}=\Gamma_{ji}^{k}$ (Satz von Schwartz), oben entspricht dies $\begin{pmatrix}\Gamma_{12}^{1} \\ \Gamma_{12}^{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\Gamma_{21}^{1} \\ \Gamma_{21}^{2}\end{pmatrix}.$ --- #### Christoffelsymbole als Ableitung der ersten Fundamentalform >[!success] Theorem >Für jede [[Flächen|Immersion]] $f \in C^{3}(U^{n},\mathbb{R}^{m})$ sind die Christoffel-Symbole $\Gamma_{ij}^{k}$ durch [[1. Fundamentalform|erste Fundamentalform]] bestimmt $\Gamma_{ij}^{k}=\frac{1}{2}\sum\limits_{l=1}^{n}g^{kl} \Big( \partial_{i}g_{jl}+\partial_{j}g_{il}-\partial_{l}g_{ij} \Big), \quad 1 \leq i,j,k \leq n.$Dabei sind $g_{ij}$ die Einträge der [[1. Fundamentalform|ersten Fundamentalform]] und $g^{kl}$ die ihrer Inversen. **Beispiele** - Für eine beliebige Rotationsfläche $f(t, \varphi)=\begin{bmatrix} r(t)\cos(\varphi) \\ r(t)\sin(\varphi) \\h(t) \end{bmatrix},$mit der zusätzlichen Bedingung $r'^{2}+h'^{2}=1$ erhält man die Christoffel-Symbole $\Gamma=\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}r'r''+h'h'' & 0 \\ 0 & -r'r\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}0 & \frac{r'}{r}\\ \frac{r'}{r} & 0 \end{pmatrix}\end{pmatrix}$ --- #### Riemannsche Differentialgeometrie Im Riemannschen Fall basieren unsere Definition auf der axiomatischen Einführung des [[Zusammenhänge|Zusammenhanges]]. >[!info] Christoffel-Symbole über Zusammenhänge >Die Christoffelsymbole eines Zusammenhanges sind für jede [[Topology and Topological Space|Karte]] $(x,U)$ die Funktionen $\Gamma_{ij}^{k}\in C^{\infty}(U)$ mit $\nabla_{e_i}e_j=\sum\limits_k \Gamma_{ij}^{k}e_k.$Sie messen den Unterschied zwischen der [[Lie Ableitung|Richtungsableitung]] der Karte und dem Zusammenhang. >[!faq] Intuition >Christoffel-Symbole kodieren die Änderung der Basisvektoren des Tangentialraumes, wenn wir von einem zum anderen wandern. #### Resources - https://www.youtube.com/watch?v=TvFvL_sMg4g