[[soluzioni_2E]] [[intervalli_2E]] [[definizione_disequazione_2E]] [[risoluzione]] [[esempio]]![[2E_diseq_prodotto_fratte.pdf]] lezione del 13/09/24 # GEMINI ## Riassunto sulla risoluzione di disequazioni prodotto, fratte e miste ### Definizione - **Disequazioni prodotto:** Sono disequazioni in cui il primo membro è costituito da un prodotto di due o più fattori,confrontato con zero (maggiore, minore, maggiore o uguale, minore o uguale). - **Disequazioni fratte:** Sono disequazioni in cui il primo membro è costituito da una frazione algebrica, confrontata con zero. - **Disequazioni miste:** Sono disequazioni che combinano prodotti e frazioni algebriche. ### Soluzioni L'insieme delle soluzioni di una disequazione è l'insieme di tutti i valori della variabile che rendono vera la disequazione. ### Rappresentazione degli intervalli - **Parentesi tonde:** Indicano che gli estremi dell'intervallo non sono inclusi nella soluzione (ad esempio, ]a, b[ significa a < x < b). - **Parentesi quadre:** Indicano che gli estremi dell'intervallo sono inclusi nella soluzione (ad esempio, [a, b] significa a ≤ x ≤ b). - **+∞ e -∞:** Sono usati per indicare intervalli illimitati (ad esempio, ]a, +∞[ significa x > a). ### Risoluzione #### Disequazioni prodotto 1. **Fattorizzare il primo membro:** Scomporre il primo membro in fattori irriducibili. 2. **Trovare gli zeri di ciascun fattore:** Porre ciascun fattore uguale a zero e risolvere le equazioni risultanti. 3. **Studio del segno:** - Costruire una tabella con una riga per ogni fattore e una colonna per ogni intervallo determinato dagli zeri. - In ogni cella, inserire il segno del fattore corrispondente in quell'intervallo. - Nell'ultima riga, inserire il segno del prodotto, ottenuto moltiplicando i segni dei fattori in ogni colonna. 4. **Confronto con la disequazione:** - Identificare gli intervalli in cui il prodotto ha il segno richiesto dalla disequazione. - Scrivere l'insieme delle soluzioni utilizzando la notazione degli intervalli. #### Disequazioni fratte 1. **Portare tutto al primo membro:** Spostare tutti i termini al primo membro, in modo da avere una frazione algebrica confrontata con zero. 2. **Fattorizzare numeratore e denominatore:** Scomporre numeratore e denominatore in fattori irriducibili. 3. **Condizioni di esistenza:** - Il denominatore deve essere diverso da zero. Porre il denominatore diverso da zero e risolvere la disequazione risultante. 4. **Studio del segno:** - Costruire una tabella simile a quella per le disequazioni prodotto, includendo anche il denominatore. - Nell'ultima riga, inserire il segno della frazione, ottenuto dividendo il segno del numeratore per il segno del denominatore in ogni colonna. 5. **Confronto con la disequazione e condizioni di esistenza:** - Identificare gli intervalli in cui la frazione ha il segno richiesto dalla disequazione. - Intersecare questi intervalli con l'insieme delle soluzioni delle condizioni di esistenza. - Scrivere l'insieme delle soluzioni finali utilizzando la notazione degli intervalli. #### Disequazioni miste 1. **Portare tutto al primo membro:** Spostare tutti i termini al primo membro, in modo da avere zero al secondo membro. 2. **Minimo comune multiplo:** Trovare il minimo comune multiplo dei denominatori e ridurre tutto a una sola frazione algebrica. 3. **Fattorizzare numeratore e denominatore:** Scomporre numeratore e denominatore in fattori irriducibili. 4. **Condizioni di esistenza:** - Il denominatore deve essere diverso da zero. Porre il denominatore diverso da zero e risolvere la disequazione risultante. 5. **Studio del segno:** - Costruire una tabella simile a quella per le disequazioni fratte. 6. **Confronto con la disequazione e condizioni di esistenza:** - Identificare gli intervalli in cui la frazione ha il segno richiesto dalla disequazione. - Intersecare questi intervalli con l'insieme delle soluzioni delle condizioni di esistenza. - Scrivere l'insieme delle soluzioni finali utilizzando la notazione degli intervalli. **Nota:** È importante ricordare che quando si moltiplicano o si dividono entrambi i membri di una disequazione per un numero negativo, il verso della disequazione si inverte. # chatGPT Le disequazioni sono un tipo di disuguaglianza che coinvolge espressioni matematiche e una o più incognite. Ecco come risolvere e rappresentare vari tipi di disequazioni: ### 1. Disequazioni Prodotto **Definizione**: Si presentano nella forma $P(x) \cdot Q(x) \leq 0$ o $ P(x) \cdot Q(x) \geq 0 $, dove \( P(x) \) e \( Q(x) \) sono polinomi o funzioni. **Risoluzione**: 1. Trova i valori che annullano \( P(x) \) e \( Q(x) \). 2. Scomponi i polinomi se necessario e determina le radici. 3. Traccia una linea numerica e segna le radici. 4. Testa il segno del prodotto nei vari intervalli formati dalle radici. 5. Seleziona gli intervalli dove il prodotto soddisfa la disuguaglianza (positivo o negativo). **Rappresentazione delle Soluzioni**: - Intervalli aperti o chiusi a seconda che le radici soddisfino l'uguaglianza. - Notazione intervallo, come $(a, b)$, $[a, b]$, $(-\infty, a) \cup (b, +\infty)$, ecc. ### 2. Disequazioni Fratte **Definizione**: Si presentano nella forma $\frac{P(x)}{Q(x)} \leq 0$ o $\frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0$ **Risoluzione**: 1. Trova i valori che annullano il numeratore $P(x)$ e il denominatore $Q(x)$. 2. I valori che annullano il denominatore sono esclusi dalle soluzioni. 3. Segna i valori trovati su una linea numerica. 4. Testa il segno della frazione nei vari intervalli. 5. Seleziona gli intervalli dove la frazione soddisfa la disuguaglianza. **Rappresentazione delle Soluzioni**: - Come le disequazioni prodotto, gli intervalli possono essere aperti o chiusi, escludendo i punti che annullano il denominatore. ### 3. Disequazioni che sono sia Fratte che Prodotto **Definizione**: Combinazioni di frazioni e prodotti, come \( \frac{P(x) \cdot R(x)}{Q(x)} \geq 0 \). **Risoluzione**: 1. Trova i valori che annullano $P(x)$, $Q(x)$, e $R(x)$. 2. I valori che annullano il denominatore sono esclusi. 3. Segna questi valori su una linea numerica. 4. Testa il segno dell'espressione complessiva nei vari intervalli. 5. Seleziona gli intervalli che soddisfano la disuguaglianza. **Rappresentazione delle Soluzioni**: - Stessa rappresentazione delle altre disequazioni, ma con attenzione ai punti esclusi dal denominatore. Queste soluzioni possono essere rappresentate efficacemente mediante grafici o linee numeriche, facilitando la comprensione visuale delle zone in cui la disequazione è verificata.