## 合同变换、二次型的合同标准形、规范形 ### 线性变换的定义 > [!abstract] > 其实就是把二次型用矩阵的形式表达下来。 ![[linear_trans_def.png]] $x=Cy$ 其中 $(\star)$ 式称为线性变换。若线性变换的系数矩阵 $C$ 可逆，即 $|C| \ne 0$ ，则称为**可逆线性变换**。 现给出 $f(x) = x^{T}Ax$ ，令 $x=Cy$ ，则 $f(x) = (Cy)^{T} A (Cy) = y^{T}(C^{T}AC)y$ 记 $B = C^{T}AC$ ，则 $f(x) = y^{T}By = g(y)$ ### 矩阵合同的定义与性质 设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $C$ 使得 $C^{T}AC = B$ 则称 **$A$ 和 $B$ 合同**。记作 $A \simeq B$。 此时称其对应的二次型 $f(x) ,~ g(x)$ 为**合同二次型**。 > [!note] > 可以看出，在二次型的背景下， $A$ 表征的是 $f(x) = x^{T}Ax$ 的 *形态* ，$B$ 表征的是 $g(x) = y^{T}By$ 的 *形态* 。 > > 但因为 $f(x), g(x)$ 就是一个东西，所以 $A, B$ 的不同是因为在不同的 *参考系* 下有不同 *形态* 。 > > 而这个参考系就是 $x=[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}]^{T}, y=[y_{1},~ y_{2}, \cdots, y_{n}]^{T}$ ### 二次型的标准型、规范形 若二次型中只有平方项，没有交叉项（交叉项系数全为零），形如 $d_{1}x_{1}^{2}+d_{2}x_{2}^{2}+\cdots+d_{n}x_{n}^{2}$ 的二次型称为**标准形**。（一般不唯一） 若标准型中，系数的取值范围为 $\{ 1, -1, 0\}$ 即形如 $x_{1}^{2}+\cdots+ x_{p}^{2} - x_{p+1}^{2} - \cdots - x^{2}_{p+q}$ 的二次型称为**规范形**。（不考虑顺序的情况下唯一） --- **定理1**：任何二次型 $f(x) = x^{T}Ax$ 一定可以通过拉格朗日**配方法**，化成标准形和规范形。 矩阵语言：任何实对称矩阵 $A$ 一定存在可逆矩阵 $C$ 使得 $C^{T}AC = \Lambda$。 **定理2**：任何二次型 $f(x) = x^{T}Ax$ 可以通过**正交变换** $x=Qy$ 化成标准形。 矩阵语言：任何实对称矩阵 $A$ 一定存在可逆矩阵 $Q$ 使得 $Q^{-1}AQ = Q^{T}AQ = \Lambda$。 #重要 ### 惯性定理 无论选取怎样的可逆线性变换，将二次型化为标准形或规范形，其正项个数 $p$ ，负项个数 $q$ 都是**不变**的。 称： $p$ 为**正惯性指数**， $q$ 为**负惯性指数**。 > [!note] > - 若二次型的秩为 $r$ ，则 $r=p+q$ ； > - 可逆线性变换不改变正、负惯性指数。 两个二次型（或实对称矩阵）合同的**充要条件**是： - 有相同的正负惯性指数； - *或* 有相同的秩以及正（或负）惯性指数； - *或* 有相同的正、负特征值个数。 > [!summary] 二次型总结 > 看到 $f = x^{T}Ax$ 可以想： > 1. 配方法（可逆线性变换）：$x=Cy$ > 使 $f = y^{T}\Lambda y$ , $C^{T}AC = \Lambda$ > 2. 正交变换法（可逆线性变换）： $x=Qy$ , $Q^{-1} = Q^{T}$ > 使 $Q^{T}AQ = Q^{-1}AQ = \Lambda$ > > [!note] > > 对称的条件下， $相似 \Rightarrow 合同$ > > *相似一定合同，合同不一定相似*。