> [!info] > 本章会伴有部分来自 [线性代数基础系列（6）——二次型 - 小苏同学](https://szup.github.io/2021/03/04/0303-square-form/) 博客的内容，以辅助理解。（章鱼讲的我有点听求不懂） ## 定义 $n$ 元变量 $x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{n}$ 的二次齐次多项式 ![[quad_form_def.png]] 称为： $n$ 元二次型，简称**二次型**。 > [!tldr] > 就是未知数的次幂始终是2。例如： $f(x_{1} ,x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 5x_{2}^{2} - 4 x_{3}^{2} - 2x_{1}x_{2} + 6 x_{2}x_{3}$ > [!note] > 考研只研究系数为实数的情况，故称之为**实二次型**。 因为 $x_{i}x_{j} = x_{j}x_{i}$ ，若令 $a_{ij} = a_{ji}$ ，则 $2a_{ij}x_{i}x_{j} = a_{ij}x_{i}x_{j} + a_{ji}x_{j}x_{i}$ ，于是 ![[quad_form_def_2.png]] 其中 $(\star)$ 式称为**完全展开式**， $(\star \star)$ 式称为**和式**。 ## 矩阵表示 令： $A = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}, \boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \cdots \\ x_n \end{bmatrix}$ 则二次型可表示为 $f(x) = x^{T}Ax \quad(\star\star\star)$ $(\star\star\star)$ 式称为二次型 $f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$ 的**矩阵表达式**，实对称矩阵 $A$ 称为**二次型 $f(x)$ 的矩阵**。 > [!example] > ![[quad_visual.png]] > [!note] > 事实上，同一个二次型可以有不同的写法。如： $4x_{1}x_{2}$ 可被拆分为 $1x_{1}x_{2} + 3x_{2}x_{1}$ ：$\begin{bmatrix} - & 1 & -\\ 3 & - & -\\ - & - & -\end{bmatrix}$ 从而得出不同的二次型矩阵。 > > 正因如此，我们要按照 *规矩* 将二次型矩阵化为**对称矩阵**，将 $4x_{1}x_{2}$ 写为 $2x_{1}x_{2} + 2x_{2}x_{1}$ ，对称矩阵如下：$\begin{bmatrix} - & 2 & -\\ 2 & - & -\\ - & - & -\end{bmatrix}$