> [!abstract] > 本章节与 [[特征值与特征向量]] 密切相关，请理解后再学习。 ## 定义 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $P$ 使得： $P^{-1}AP = \Lambda$ 其中 $\Lambda$ 是对角矩阵，则称： $A$ 可**相似对角化**，记 $A \sim \Lambda$ ，称 $\Lambda$ 是 $A$ 的**相似标准型**。 ## 矩阵可相似对角化的条件 > [!caution] > 对于相似对角化，只有定义是不够的。因此请将接下来的过程（思想方法）弄清并记忆。 1. $A$ 可相似对角化 $\Leftrightarrow$ $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。 > [!note] > $\Leftrightarrow ~ \exists P$ ，使 $P^{-1}AP = \Lambda$ $\Leftrightarrow ~ \exists P = (\xi_{1}, \xi_{2})$ （列分块），使 $AP = P\Lambda$ $\Leftrightarrow ~ \exists P = (\xi_{1}, \xi_{2})$ ，使 $A (\xi_{1},\xi_{2}) = (\xi_{1},\xi_{2}) \begin{pmatrix} \lambda_1 & \\ & \lambda_2 \end{pmatrix}$ $\Leftrightarrow ~ \exists P = (\xi_{1}, \xi_{2})$ ，使 $(A\xi_{1},A\xi_{2}) = (\lambda_{1}\xi_{1},\lambda_{2}\xi_{2})$ $\Leftrightarrow ~ \exists P = (\xi_{1}, \xi_{2})$ ，使 $A\xi_{i} = \lambda_{i}\xi_{i}~(i=1,2)$ [[特征值与特征向量]] > > **$\Leftrightarrow$ $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。** > > 请记住这个构成： #重要 > > $[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]^{-1} A [\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n] = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix}$ 2. $A$ 可相似对角化 $\Leftrightarrow$ $A$ 对应与每个 $k$ 重特征值都有 $k$ 个线性无关的特征向量。 3. $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值 $\Rightarrow$ $A$ 可相似对角化。 4. $n$ 阶矩阵 $A$ 为实对称矩阵 $\Rightarrow$ $A$ 可相似对角化。 ## 求 $P$ ，使得 $P^{-1}AP=\Lambda$ #必考 >[!info] >AKA：相似对角化计算 已知 $A$ 可相似对角化的条件下，计算步骤如下： 1. 求 $A$ 的特征值 $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$； 2. 求对应于特征值的线性无关的特征向量 $\xi_{1},\cdots,\xi_{n}$； [[特征值与特征向量#求法]] 3. 令 $P = [\xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{n}]$ ，则 $P^{-1}AP = \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix}$ 注意：$P$ 中的特征向量 $\xi_{n}$ 与 $\Lambda$ 中的特征值 $\lambda_{n}$ 对应，且 $P$ **没有唯一性**。 ## 由特征值、特征向量反求 $A$ 若 $P^{-1}AP = \Lambda$ ，则 $A = P\Lambda P^{-1}$ 是反求 $A$ 的一个基本思路。 ## 求 $A^{k}$ 及 $f(A)$ 当 $A \sim \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix}$ 时，有 $P^{-1}A^{k}P = \Lambda^{k}, A^{k}=P\Lambda^{k}P^{-1} = P \begin{bmatrix} \lambda_{1}^{k} \\ & \lambda_{2}^{k} \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_{n}^{k} \end{bmatrix}P^{-1}$ $P^{-1}f(A)P = f(\Lambda), f(A)=Pf(\Lambda)P^{-1} = P \begin{bmatrix} f(\lambda_1) \\ & f(\lambda_2) \\ & & \ddots \\ & & & f(\lambda_n) \end{bmatrix}P^{-1}$