## 定义 两个方阵 $A,B$ ，若存在可逆矩阵使得：$P^{-1}AP=B$ ，则称 $A$ 相似于 $B$。 $A \sim B$ > [!note] > 1. $A \sim A$ （反身性） > 2. 若 $A \sim B$ ，则 $B \sim A$ （对称性） > 3. 若 $A \sim B , B \sim C$，则 $A \sim C$ （传递性） #常用 ## 性质 若 $A \sim B$ ，则： 1. $|A| = |B|$ 2. $r(A) = r(B)$ 3. $tr(A) = tr(B)$ [[矩阵的迹]] 4. $\lambda_{A} = \lambda_{B}$ （或 $\lambda E - A = \lambda E - B$） 5. $r(\lambda E - A) = r(\lambda E - B)$ 6. $A, B$ 各阶主子式之和分别相等 > [!info] > [主子式和顺序主子式 - 马同学](https://www.matongxue.com/parts/821/) > [!note] > 若 1-6 条至少一条不成立，则 $A$ 不相似于 $B$。 > 即使 1-6 条均成立，也无法证明 $A$ 相似于 $B$。 ## 重要结论 1. 若 $A \sim B$ ，则 $A^{k} \sim B^{k}$， $f(A) \sim f(B)$； 2. 若 $A \sim B$ ，且 $A$ 可逆，则 $A^{-1} \sim B^{-1}$，$f(A^{-1}) \sim f(B^{-1})$； 3. 若 $A \sim B$ ，则 $A^{*} \sim B^{*}$， $A^{T} \sim B^{T}$ 4. 若 $A \sim C, B \sim D$ ，则 $\begin{bmatrix} A & O\\ O & B \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} C & O\\ O & D \end{bmatrix}$ ## 矩阵相似的判别和证明 1. **定义法**：若有 $P^{-1}AP = B$ ，则 $A \sim B$； 2. **传递性**：若有 $A \sim C, C \sim B$ ，则 $A \sim B$； #重要 3. **性质**：若 $A \sim B$ ，则 [[#性质]] 成立。（仅为相似的必要条件，但是可以用来*证明不相似*）