## 定义 设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵， $\lambda$ 是一个数，若存在非零列向量 $\xi$ ，使得 $A\xi = \lambda \xi$ 则称： $\lambda$ 是 $A$ 的**特征值**， $\xi$ 是 $A$ 对应特征值的**特征向量**。 > [!info] > *看视频理解*：[线性代数的本质 - 3Blue1Brown](https://www.bilibili.com/video/BV1Ls411b7oL) > > 某空间在经过某个矩阵 $A$ 变换后，空间内的一个向量 $\xi$ 仅仅做了拉伸/压缩操作而未离开原位（拉伸压缩比是 $\lambda$）。 > > 因此原等式可理解为：**矩阵向量乘积和向量数乘是相等且等效的**。 ## 求法 $A\xi = \lambda \xi ~(\xi \ne 0)$ $\Rightarrow \lambda \xi - A\xi = 0$ $\Rightarrow (\lambda E - A) \xi = 0$ $\Rightarrow (\lambda E - A) X = 0 ~\text{齐次方程有非零解}$ > [!note] > 参考 [[齐次线性方程组#有解的条件]] $\Rightarrow |\lambda E - A| = 0$ 上方式子被称为 **特征方程**。 $\Rightarrow \lambda_{i}~i=1,2,\cdots ,n$ 因此：求解特征值特征向量一般先用 $|\lambda E - A| = 0$ 求出 $\lambda$ ，再接齐次线性方程组 $(\lambda E - A)x = 0$ 求出特征向量。 ## 性质与重要结论 ### 特征值 1. $\lambda_{0}$ 是 $A$ 的特征值： $|\lambda_{0}E-A| = 0$ ；不是特征值，则行列式不为零。 > [!tip] > 若 $|aA + bE| = 0$ ，则 $- \frac{b}{a}$ 是 $A$ 的特征值。 2. #重要 若 $\lambda_{1}, \cdots , \lambda_{n}$ 是 $A$ 的特征值们，则： $|A| = \lambda_{1}\lambda_{2}\cdots \lambda_{n}$ $\mathrm{tr}(A) = \lambda_{1}+\lambda_{2}+ \cdots + \lambda_{n} \text{（主对角线之和）}$ ### 特征向量 #重要 1. $\xi (\ne 0)$ 是 $A$ 的属于 $\lambda_{0}$ 的特征向量$~\Leftrightarrow ~ \xi$ 是 $(\lambda_{0}E - A) x = 0$ 的非零解； 2. $k$ 重特征值 $\lambda$ 至多只有 $k$ 个线性无关的特征向量； 3. 若特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 不等，则其对应的不同的特征向量**一定线性无关**；（相同特征值可能线性相关也可能无关） 4. 若特征向量 $\xi_{1}, \xi_{2}$ 的特征值都等于 $\lambda$，则 $k_{1} \xi_{1} + k_{2} \xi_{2}$ 也是特征值等于 $\lambda$ 的特征向量；（常考一个系数 $k=0$ 的情况） 5. 若 $\xi_{1}, \xi_{2}$ 特征值不相同，则 $k_{1} \xi_{1} + k_{2} \xi_{2}$ 不是任何特征向量；（常考 $k_{1}=k_{2}=0$ 的情况） 6. 一个特征向量不能有两个特征值。 --- ## 常用矩阵的特征值与特征向量 [[常用矩阵的特征值与特征向量]]