> [!info]
> [[矩阵的定义及基本运算#对称矩阵]]
## 实对称矩阵的性质
若 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵：
1. $A$ 的特征值是实数，特征向量是实向量；
2. $A$ 的属于不同特征值的特征向量相互**正交**；
3. 一定存在 $n$ 阶正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^TAQ = Q^{-1}AQ=\begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix}$ 其中 $\lambda_{i}$ 是 $A$ 的全部特征值。
## 相似对角化基本步骤
1. 求 $A$ **特征值**；
2. 求特征值对应的**特征向量**；
3. 将特征向量**正交化、单位化**为 $\eta_{n}$；
4. 令 $Q = [\eta_{1}, \cdots, \eta_{n}]$ ，则 $Q$ 为正交矩阵，且 $Q^{-1}AQ = Q^{T}AQ = \Lambda$
> [!note]
> 施密特正交化公式：
> 设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性相关但不正交，令 $\beta_{1} = \alpha_{1},~\beta_{2} = \alpha_{2} - \frac{(\beta_{1}, \alpha_{2})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1},~ \beta_{3}=(不常考，略)$