## 导入
> [!tldr]
> **线性方程组与向量组其实是一回事**
把方程组的系数写成矩阵形式，再将等号右边的值加入矩阵中就可以获得增广矩阵。
本质上说，方程组问题就是向量问题，方程组和向量组是**同一问题的两种表现形式**，本质一样，解决方法也一样。
### 求解方法
对增广矩阵作初等行变换，化成行阶梯形矩阵，然后求解。
加入方程组有无穷多解，那么可使用某个向量“代表”所有的解，也被称为**基础解系**。
---
## 齐次线性方程组
方程组：
$
\left\{\begin{matrix}
a_{11}x_1 + a_{12} x_{2} + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\
a_{21}x_1 + a_{22} x_{2} + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\
\cdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2} x_{2} + \cdots + a_{mn}x_n = 0
\end{matrix}\right.
$
1. 其**向量**形式为：
$
x_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + x_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + x_n \boldsymbol{\alpha}_n = \boldsymbol{0}
$
其中
$
\boldsymbol{\alpha}_j = \begin{bmatrix} \alpha_{1j} \\ \alpha_{2j} \\ \cdots \\ \alpha_{mj} \end{bmatrix}, j=1,2,\cdots,n
$
2. 其**矩阵**形式为：
$
\boldsymbol{A}_{m\times n} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}
$
其中
$
\boldsymbol{A}_{m\times n} =
\begin{bmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix},
\boldsymbol{x} =
\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \cdots \\ x_n \end{bmatrix}
$
### 有解的条件
- 当 $r(A) = n$ （线性无关）时，方程组有唯一零解；
- 当 $r(A) = r < n$ （线性相关）时，方程组有非零解（无穷多解），且有 $n-r$ 个线性无关解。
> [!note]
> $S = n - r(A)$
> $n$：自由度；
> $r(A)$：真实约数个数。
> [!example]
> 若 $n=3$ ，则可理解为有3个未知向量 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$，无约束地充满整个三维空间。
>
> 若此时 $r(A) = 1$ ，那么说明有一个方程（例如 $x_{1}+x_{2}+x_{3}=0$）对三个解进行约束。只要确定了其中两个向量，那么剩下一个向量则可根据此约束确定下来。因此解空间被**压缩到了**原三维空间里的一个二维平面中。
>
> 因此有 $3-1=2$ 个线性无关解。
### 解的性质
若 $\xi_{1}, \xi_{2}$ 都是齐次方程的解，则二者的线性组合 $(k_{1}\xi_{1}+k_{2}\xi_{2})$ 也是齐次方程的解。
### 基础解系和解的结构
- 基础解系：设 $\xi_{1},\cdots,\xi_{n-r}$ 满足 （$r(A) < n$）
- 是方程组 $Ax=0$ 的解；
- 线性无关；
- 任意解可由 $\xi_{1},\cdots,\xi_{n-r}$ 线性表示，
则称为方程组的基础解系。
- 通解： 设 $\xi_{1},\cdots,\xi_{n-r}$ 是基础解系，则 $k_{1}\xi_{1},\cdots,k_{n-r}\xi_{n-r}$ 为通解。
### 求解方法和步骤
1. 系数矩阵 $A$ 作初等**行变换**化为**行阶梯形矩阵**，并记 $r(A) = r$；
2. 按列找出一个秩为 $r$ 的子矩阵（一个阶梯找一列），剩余列位置的未知数设为自由变量；
3. 按照基础解系定义求出 $\xi_{1},\cdots,\xi_{n-r}$ 并写出通解。
> [!note]
> 基础解系反着走即可。简便算法可参考上课视频。
> [!example]
> 1. 化为行阶梯矩阵： ![[qici1.png]]
> 2. 一个阶梯找一列（多种选法）： ![[qici2.png]]
> 3. 剩下的列为自由变量，并填入最简单的矩阵：![[qici3.png]]
> 4. 与任意行进行内积为0，求得剩下的位置：![[qici4.png]]
>
> 此为所求解。