方程组： $ \left\{\begin{matrix} a_{11}x_1 + a_{12} + \cdots + a_{1n}x_n = b_{1} \\ a_{21}x_1 + a_{22} + \cdots + a_{2n}x_n = b_{2} \\ \cdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2} + \cdots + a_{mn}x_n = b_{m} \end{matrix}\right. $ 其向量形式为： $x_{1} \alpha_{1} + x_{2} \alpha_{2} + \cdots + x_{n}\alpha_{n} = \boldsymbol{b}$ > [!note] > 等号右边换成 $b$ 向量 把解向量放进去可获得增广矩阵 $ \left[ {\begin{array}{c:c} \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{matrix}& \begin{matrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \\ \end{matrix} \end{array}} \right] $ 简记为 $[A \vdots b]$ 。 ## 有解的条件 - 若 $r(A) \ne r([A,b])$ ，则方程组无解； - 若 $r(A) = r([A,b]) = n$ 则方程组有唯一解； - 若 $r(A) = r([A,b]) < n$ 则方程组有无穷多解。 > [!tip] > - 第一条可理解为： $\boldsymbol{b}$ 不能由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots , \alpha_{n}$ 线性表示； > - 第二条为： $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots , \alpha_{n}$ 线性无关， $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots , \alpha_{n}, \boldsymbol{b}$ 线性相关。 ## 解的性质 若 $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta$ 是非齐次方程组 $Ax=b$ 的解， $\xi$ 是对应齐次方程组 $Ax=0$ 的解，则： - $\eta_{1}-\eta_{2}$ 是 $Ax=0$ 的解； - $k\xi + \eta$ 是 $Ax=b$ 的解。 ## 求解方法和步骤 1. 先写成齐次方程组（导出方程组） $Ax=0$ ，再求出其通解； 2. 求出 $Ax=b$ 的一个特解 $\eta$; 3. $Ax=b$ 的通解为 **齐次通解加非齐次特解**： $k_{1}\xi_{1} + k_{2}\xi_{2} + \cdots + k_{n-r}\xi_{n-r} + \eta$ 。其中 $k_{n-r}$ 为任意常数。 > [!tip] > 若 $Ax=b$ 无解，想 $A^{T}Ax=A^{T}b$ 一定有解，解得的 $x_{0}$ 是 *最佳近似解* 。（见 `例4.7`）