> [!tldr] > - 向量组中，若某个向量是另一个向量的 $k$ 倍，则二者**线性相关**。 > - 若把所有线性相关的向量分别合并，余下的称为**极大线性无关组**。 > - 向量的个数称为向量组的**秩**（独立信息个数）。 ## 向量 $[1,2,3]$ 矩阵中的若干行/列都是向量。有 $n$ 个数就是 $n$ 维向量。 > [!note] > 向量的 *相等、相加、数乘* 过于简单，此处略过。 ### 内积 设 $\boldsymbol{\alpha} =[a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}]^{T}$ , $\boldsymbol{\beta} =[b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}]^{T}$ ，则称 $\boldsymbol{\alpha}^{T}\boldsymbol{\beta} = \sum^{n}_{i=1}a_{i}b_{i}$ 为向量 $\boldsymbol{\alpha}$，$\boldsymbol{\beta}$ 的内积，记为 $(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ ### 正交 当 $\boldsymbol{\alpha}^{T}\boldsymbol{\beta} = 0$ ，称两个向量正交（垂直）。 ### 模 $||\boldsymbol{\alpha}|| = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}^{2}}$ 称为向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 的模（长度）。 当 $||\boldsymbol{\alpha}||=1$ ，称 $\boldsymbol{\alpha}$ 为单位向量。 > [!tip] > 设： $A = \begin{bmatrix}\alpha & \beta \end{bmatrix}$ > 则： $A^{T}A = \begin{bmatrix} \alpha^{T} \\ \beta^{T} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha & \beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ||\alpha||^2 & ||\alpha||\cdot||\beta||\cdot\cos \theta\\ ||\alpha||\cdot||\beta||\cdot\cos \theta & ||\beta||^2 \end{bmatrix}$ > 若 $\alpha \perp \beta$ ： > $A^{T}A = \begin{bmatrix} ||\alpha||^2 & 0 \\ 0 & ||\beta||^2 \end{bmatrix}$ > 若 $||\alpha|| = ||\beta|| = 1$ ： > $A^{T}A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = E$ > 此时称 $A$ 为 **$n$ 阶正交矩阵**。 ## 向量组 $[1,2,3], [4,5,6]$ 几个向量拼在一起即为向量组。 ### 标准正交向量组 若列向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 满足： $\alpha_i^T \alpha_j = \begin{cases} 1 & i=j \\ 0 & i \ne j\end{cases}$ 则称之为**标准或单位正交向量组**，也称**规范正交基**。 ### 正交矩阵 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，且满足 $A^{T}A = E$ ，则称 $A$ 是正交矩阵。 $A$ 是正交矩阵 $\Leftrightarrow A^{T}A=E \Leftrightarrow A^{T}=A^{-1} \Leftrightarrow A$ 的行/列向量组是规范正交基 > [!note] > 以二维为例：最典型的正交矩阵就是 $\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ，可以理解为 $x,y$ 轴的单位向量。其他正交矩阵只需要将这两个向量以一个整体，绕原点旋转得到： $\begin{bmatrix} \cos\theta & - \sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ 。三维等以此类推。 > > 可知： $A$ 是由两两正交的单位向量组构成的。 > > 作用：将数据进行**正交旋转**。 ## 向量组的线性表示 ### 线性组合 有 $m$ 个 $n$ 维向量 $\alpha$，每个乘以自己的倍数，然后进行相加： $k_{1}\alpha_{1} + \cdots + k_{m}\alpha_{m}$ > [!note] > 如果不对 $k$ 进行限制，则线性组合可以形成向量组张成空间内的所有向量。 ### 线性表示 如果一个向量 $\beta$ 能够成为某向量组的线性组合，即可以找到合适的倍数 $k$ 分配给所有 $\alpha_{m}$ ，则称向量 $\beta$ 能被向量组线性表示。 ### 线性相关 若能够找到 *不全为零* 的 $k$ ，使得向量组中的所有向量满足： $k_{1}\alpha_{1} + \cdots + k_{m}\alpha_{m} = 0$ 则向量组线性相关。 含有零向量或有比例的向量的向量组必定线性相关。 > [!example] > $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{bmatrix}$ 前两个向量成比例，因此线性相关。 > $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \\ 9 \end{bmatrix}$ 前两个向量可以组合得到最后一个向量，因此线性相关。 ### 线性无关 只有当系数全为零时，线性相关才成立时，则称向量组线性无关。 单个非零向量和两个不成比例得向量线性无关。 向量组线性相关或线性无关必须占且只能占一个，不能一个不占或同时满足。 > [!example] > $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{bmatrix}$ 线性无关。 > [!summary] > 线性相关/无关讲的是：**向量组中的每个向量是否都携带了自己独特的信息**。 > > 假如某个向量能被其余的部分通过四则运算组合出来，那么这个向量就是多余的、不携带信息的，因此称之为线性相关。反之则为线性无关。 > > 或者说：是否每个向量都为张成的空间提供了额外的维度。 ## 判别线性相关性的定理 ### 定理 1 向量组 $\alpha_{1}, \cdots \alpha_{n}$ 线性相关的**充要条件**是：向量组中至少有一个向量可由其余 $n-1$ 个向量线性表示。 **逆否命题**：线性无关的充要条件是：任一向量都不能由其余 $n-1$ 个向量线性表示。 ### 定理 2 若 $\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关，而 $\beta, \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性相关，则 $\beta$ 可由余下的向量组线性表示，且表示法唯一。 ### 定理 3 如果向量组 $\beta$ 可以被另一个向量组 $\alpha$ 线性表示，且 $\beta$ 的数量大于 $\alpha$ ，则 $\beta$ 向量组一定线性相关。 > [!tldr] > 以少表多，多的相关。 > > 3个向量挤在一个2维平面，一定会线性相关。 ### 定理 4 #待完善 向量组 $\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关的**充分非必要条件**是：齐次线性方程组只有零解。 ### 定理 5、6、7 #待完善 天天早八实习累了，等后面二轮复习的时候再把这几个定理放进来。不想敲公式了。（其实蛮简单的） > [!tldr] > 部分相关，整体相关； > 整体无关，部分无关； > 原来无关，延长无关； #重要 > 原来相关，缩短相关。