> [!tldr] > 任何矩阵都可以通过初等变换（行和列）变为等价标准形（对角全是 $0$ 但不一定填满） ## 等价矩阵 若对矩阵 $A$ 进行行列操作 $PAQ$ （$P,Q$ 分别是行变换矩阵，列变换矩阵），得到矩阵 $B$ ，则 $A,B$ 是**等价矩阵**，记作 $A \cong B$ 。 > [!note] > $A,B$ 一定同型。 ## 等价标准型 任何 $A$ 等价于形如 $\begin{bmatrix}\boldsymbol{E}_r & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0}\end{bmatrix}$ 的矩阵。（$\boldsymbol{E}_r$ 中的 $r$ 正好是原 [[矩阵的秩]]）。后者称为 $A$ 的**等价标准型**。 $\boldsymbol{PAQ} = \begin{bmatrix}\boldsymbol{E}_r & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0}\end{bmatrix}$