## 定义 设 $A, B$ 是 $n$ 阶方阵，若 $AB = BA = E$ ，则 $A$ 是可逆矩阵，且 $B$ 是 $A$ 的逆，记为 $A^{-1}$ 。 > [!note] > - 逆矩阵是唯一的。 > - 可逆的充分必要条件是 $|A| \ne 0$ ## 逆矩阵的性质与重要公式 设 $A, B$ 同阶可逆方阵，则 - $(A^{-1})^{-1} = A$ - 若 $k \ne 0$ ，则 $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$ - $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ - $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$ - $|A^{-1}| = |A|^{-1}$ ## 定义法求逆矩阵 ### 方法 1 求一个矩阵 $B$ ，使 $AB = E$ ，且 $A^{-1}=B$ 。 ### 方法 2 将 $A$ 分解为若干个可逆矩阵： $A=BC$ ，且 $A^{-1} = (BC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}$