## 定义 若矩阵 $A$ 存在 $k$ 阶子式不为零， $k+1$ 阶子式全为零，则： $r(A) = k$ > [!info] > - **$k$ 阶子式**：任取 $k$ 行 $k$ 列构成的 $k$ 阶行列式。 > - $r(A) = k$ 也可以理解为： $A$ 的线性无关的向量的个数。 若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则： $r(A_{n\times n}) = n \Leftrightarrow |A| \ne 0 \Leftrightarrow A \text{可逆}$ ## 算法 将 $A$ 用初等行变换，化为 [[初等变换和初等矩阵#行阶梯形矩阵]] ，其**非零行数**就是 $A$ 的秩。 > [!example] > $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0\\ 3 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$ > $r(A) = 2$ ## 重要式子 设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是任何满足运算的矩阵： - $0 \le r(A) \le \min\{m,n\}$ - $r(kA) = r(A) (k \ne 0)$ - $r(AB) \le \min\{r(A), r(B)\}$ #重要 - $r(A+B) \le r(A) + r(B)$ #重要 - $r(A^*) = \begin{cases} n & r(A) = n \\ 1 & r(A) = n-1 \\ 0 & r(A) < n-1 \end{cases} ~,\text{A为n阶方阵}$ #重要 - $r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)$ - 若 $A_{m\times n}B_{n\times s}=0$ ，则 $r(A) + r(B) \le n$ （$A$ 的列数） #重要 - $r(A) = r(A^{T}) = r(A^{T}A) = r(AA^{T})$ #重要