## 矩阵的本质
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\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}_{2 \times 3}
$
矩阵的初步认识：**表达系统信息**。
重要观点：
1. 矩阵也是由若干行/列向量组成的；
2. 矩阵无法被计算，但向量之间存在某种**关系**。
> [!tip]
> 向量 $[1,2,3]$ 和 $[2,4,6]$ 是平行的。（存在线性**关系**）
## 定义
一个 $m \times n$ 的矩形表格：
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\begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1}&\cdots & a_{mn} \end{bmatrix}
$
当 $m=n$ 时，称为**方阵**；当两个矩阵行列分别相等，称为**同型矩阵**。
## 基本运算
### 相等
两个矩阵同型，且数据完全相等。
### 加法
当两个矩阵同型，可以相加。 $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$
对应位置元素相加即可。
### 数乘矩阵
将数字乘给每一个元素。
$
k \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} ka_{11} & \cdots & ka_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ ka_{m1}&\cdots & ka_{mn} \end{bmatrix} = (ka_{ij})_{m \times n}
$
> [!info]
> 加法和乘法统称为矩阵的线性运算，且满足以下运算规律：
> - 交换律
> - 结合律
> - 分配律
> - 数和矩阵相乘结合律
### 乘法
两个矩阵， $A$ 是 $m \times s$ 矩阵， $B$ 是 $s \times m$ 矩阵（列数等于行数；行数等于列数）。
最后乘积也是矩阵，是 $m \times n$ 矩阵。
第一行乘以第一列后相加：
![[matrix_multi.png]]
> [!tip]
> $a_{11} = 1 \times 7 + 2 \times 9 + 3 \times 11 = 58$
> $a_{12} = 1 \times 8 + 2 \times 10 + 3 \times 12 = 64$
> 以此类推。
> [!info]
> 矩阵乘法满足以下运算规律：
> - 结合律
> - 分配律
> - 数乘和矩阵乘积的结合律 $(k \boldsymbol{A})\boldsymbol{B} = A(k \boldsymbol{B}) = k(\boldsymbol{AB})$
>
> **交换律无法使用！** $\boldsymbol{AB} \ne \boldsymbol{BA}$
### 转置矩阵
将 $m \times n$ 矩阵行列交换后到的 $n \times m$ 矩阵称为转置矩阵：
$
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{bmatrix}
\Rightarrow
A^{T} = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{21} \\
a_{12} & a_{22} \\
a_{13} & a_{23}
\end{bmatrix}
$
转置矩阵满足以下运算规律：
- $(A^{T})^{T} = A$
- $(kA)^{T}=kA^{T}$
- $(A+B)^{T} = A^{T}+B^{T}$
- $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ #重要
### 方阵的行列式
$n$ 阶方阵 $A$ 计算行列式时记作 $|A|$ 。
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### 重要矩阵
#### 零矩阵
全是零的矩阵，记为 $\boldsymbol{0}$
#### 单位矩阵
主对角线是1，其余元素全是0的 $n$ 阶方阵。记为 $E_{n}(I)$
#### 数量矩阵
$k$ 倍的单位矩阵。
满足交换律：
$kE \cdot A=A \cdot kE$
#### 对角矩阵
#重要
非对角元素均为0的矩阵。
#### 上下三角矩阵
主对角线下/上全为0的矩阵。
#### 对称矩阵
满足 $A^{T}=A$ 的矩阵。
> [!tip]
> $A^{T}A$ 必为对称阵。
> $A^{T}A \Rightarrow (A^{T}A)^{T} = A^{T}(A^{T})^{T} = A^{T}A$
>
> **实对称矩阵**：元素全为实数的对称矩阵。
#### 反对称矩阵
满足 $A^{T}=-A$ 的矩阵。
> [!tip]
> 主对角线一定全为 $0$ 。
#### 行矩阵、列矩阵
只有一行元素的矩阵。也叫行向量；
只有一列元素的矩阵，也叫列向量。
### 分块矩阵
#重要
#### 矩阵的分块
用几条横线竖线把一个矩阵分成若干小块，每一小块称为原矩阵的子块，把子块看作原矩阵的元素。
#### 基本运算
与一般矩阵计算无异。将数的运算改为矩阵运算即可。
注意不要滥用交换律。