## 初等变换
- 一个非零常数乘矩阵的某一行/列;
- 互换矩阵中的某两行/列;
- 将矩阵中的某一行/列的 $k$ 倍加到另一行/列。
以上三种变换称为**矩阵的初等行/列变换**,分别称为:
- 倍乘变换;
- 互换变换;
- 倍加初等行/列变换。
## 初等矩阵定义
#重要
由单位矩阵经过**一次初等变换**得到的矩阵称为**初等矩阵**。
1. **倍乘初等矩阵**:第 $i$ 行/列乘 $k$ 倍的单位矩阵: $E_{i}(k)$
> [!example]
> $E_{2}(k) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
2. **互换初等矩阵**:第 $i$ 行与 $j$ 行互换的单位矩阵: $E_{ij}$
> [!example]
> $E_{12} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
3. **倍加初等矩阵**:将 $i$ 行的 $k$ 倍加之 $j$ 行的单位矩阵: $E_{ij}(k)$
> [!example]
> $E_{13}(k) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ k & 0 & 1 \end{bmatrix}$
> [!note]
> 这里请自行带入几个数并使用初等矩阵变换一下,就会发现他们的作用 *正如名字所说* 。
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## 初等矩阵的性质与重要公式
- 初等矩阵的转置仍初等矩阵;
- 初等矩阵都是可逆矩阵: $[E_{i}(k)]^{-1} = E_{i}(\frac{1}{k})$ $E_{ij}^{-1} = E_{ij}$ $[E_{ij}(k)]^{-1} = E_{ij}(-k)$
- 可逆矩阵一定可以表示为**有限个初等函数的乘积**;
- 初等矩阵放在左边则对**行**进行变换;放在右边则对**列**进行变换。
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## 行阶梯形矩阵与行最简阶梯形矩阵
### 行阶梯形矩阵
如下图所示:
![[stair_mat.png]]
> [!note]
> 非零行的 $0$ 个数必须严格增加,不允许相等。(如两行同时拥有3个 $0$ )
### 行最简阶梯形矩阵
第一个非零元素均为 $1$ 的行阶梯形矩阵。且其元素正上方所有元素均为 $0$ 。如图:
![[stair_mat_simp.png]]
> [!tip]
> - 其实就是做了消元,将方程组化到了最简形式。
> - 对于任何非零矩阵,都可以化为行阶梯和行最简阶梯。
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## 用初等变换求逆矩阵的方法
$[\boldsymbol{A} |\boldsymbol{E}] ~\text{初等行变换}\Rightarrow [\boldsymbol{E}|\boldsymbol{A}^{-1}]$
$\begin{bmatrix} \boldsymbol{A}\\ \boldsymbol{E}\end{bmatrix} ~\text{初等行变换}\Rightarrow \begin{bmatrix} \boldsymbol{E}\\ \boldsymbol{A}^{-1}\end{bmatrix}$
在矩阵右拼/下拼一个单位矩阵,再通过初等行变换将矩阵 $A$ 转换为单位矩阵,单位矩阵所变成的矩阵即为所求 $A^{-1}$ 。
证明略。
> [!tip]
> 练习题见 `例2.13` 。
> [!caution]
> 实际计算中时,请使用**虚线**分隔 $A$ 与 $E$ ,该笔记中无法输入虚线分隔符。
## 简单分块矩阵的逆
若 $A, B$ 均是可逆方阵,则:
$\begin{bmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{0}\\\boldsymbol{0} & \boldsymbol{B}\end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{A^{-1}} & \boldsymbol{0}\\\boldsymbol{0} & \boldsymbol{B^{-1}}\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} \boldsymbol{0} & \boldsymbol{A}\\\boldsymbol{B} & \boldsymbol{0}\end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{0} & \boldsymbol{B^{-1}}\\\boldsymbol{A^{-1}} & \boldsymbol{0}\end{bmatrix}$
超过两阶可自行推广。副对角反着写即可。
### 三角阵
$A = \begin{bmatrix} \boldsymbol{B} & \boldsymbol{0}\\\boldsymbol{D} & \boldsymbol{C}\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} \boldsymbol{B} & \boldsymbol{0}\\\boldsymbol{D} & \boldsymbol{C}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol{X} & \boldsymbol{Y}\\\boldsymbol{Z} & \boldsymbol{W}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{E} & \boldsymbol{0}\\\boldsymbol{0} & \boldsymbol{E}\end{bmatrix}$ $\Rightarrow \begin{bmatrix} \boldsymbol{X} & \boldsymbol{Y}\\\boldsymbol{Z} & \boldsymbol{W}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} & \boldsymbol{0}\\-\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{D}\boldsymbol{B}^{-1} & \boldsymbol{C}^{-1}\end{bmatrix}$
> [!tip]
> - 对角直接取逆;
> - 对于 $D$ 同样左行右列: $\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{D}\boldsymbol{B}^{-1}$,再添负号。
> - 其他三角位置可用同样方式。副对角时记得反写。